晶体的宏观对称

晶体的宏观对称第三章

晶体的宏观对称与分类晶体的宏观对称与分类一、对称的概念二、晶体对称的特点三、晶体的宏观对称要素和对称操作四、对称要素的组合五、32个对称型（点群）及其推导六、晶体的对称分类七、五次对称轴、二十面体与准晶对称性在日常生活中很常见但对称的概念还有更深邃和更广泛的含义：建造大自然的密码；变换中的不变性；审美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。一、对称的概念对称（symmetry)：物体相同部分有规律的重复。其相同部分可以是相同形状，或相同物理性质。

对称的条件：①必须具有若干个彼此相同的部分；②这些相同部分通过一定的操作彼此有规律地重合。石榴子石晶体绿柱石晶体二、晶体对称的特点晶体的对称包括宏观和微观两方面，具有三个特点：①普遍性：一切晶体都是对称的。②特殊性：晶体的对称是有限的，它受晶体内部结构严格控制，如对称轴只出现一、二、三、四和六次对称轴。③双重性：晶体的对称不仅包含着几何意义，也包含着物理意义；不仅体现在外形上，也体现在性质上。石英晶体磷灰石晶体

石盐晶体不同切面上的硬度曲线三、晶体的宏观对称要素对称操作：对称变换，使物体或图形的相同部分重复出现所进行的操作（如旋转、反映、反伸等）。对称要素：在进行对称操作时所凭借的一些假想的几何要素——点、线、面。

对称中心（C）对称轴（Ln）对称面（P）

1.对称面（P）

☆P

操作为反映,也称镜面（mirror）.

将图形平分为互为镜像的两个相等部分。晶体上的对称面，通常不将之转化为点，而是直接投影成一条直线或弧线。Φ=0°a5a2a3a4●●●●●a6a1立方体的6个晶面投影点和9个对称面的投影☆对称面(P)

可能出露的位置：①垂直平分晶面和晶棱；②包含一对晶棱，并平分晶面夹角。☆对称面(P)检验方法：垂直等距，镜像反映。

看两相等部分上对应点的连线是否与P垂直等距。若是则为镜像反映关系。☆晶体中可以无P,也可以有多个对称面存在，如3P、6P、9P等.但最多不超过9P.

2．对称中心（C）

对称操作为反伸

只可能在晶体中心，只可能一个。

☆晶体具C的标志：晶体上所有的晶面均两两平行、同形等大、方向相反。

☆确定晶体（或模型）有无C的方法：

将晶体（模型）置于桌面上检验。

凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且

两两反向平行、同形等大。3．对称轴

(Ln

)1）轴次(n)：旋转360°时，相同部分重复出现的次数。2）基转角(α)：使相同部分重复出现所必须旋转的最小角度。

n=360°/α返回L6☆对称轴—LnL2L3L4L6

晶体中Ln可能出露的位置：①晶面的中心：两相对晶面中心的连线。②晶棱的中点：两相对晶棱中点的连线。③角顶上：两相对角顶的连线；或者一个角顶和与之相对的一个晶面中心的

连线。对称轴的平面表示方法

L2L3L4L6晶体对称定律

晶体中只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴（L1、L2、L3、L4和L6），而不可能存在五次及高于六次的对称轴。①、直观理解②、数学证明：t’=mtt’=2tCOS(180˚-)+t=-2tcos+tmt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相应的＝0或2/3/22/3（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）对应的Ln

＝L1L6L4L3L2

tt’ttAA’BB’4．旋转反伸轴

(Lin)1）对称操作：旋转＋反伸（倒反）

Lin的特点：

晶体围绕该直线旋转一定的角度，并对该直线上的一个定点进行反伸，可使晶体上的相同部分相互重合。P.27图3-9返回Li4

Lin

操作为旋转+反伸的复合操作:

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P无论先旋转后反伸，还是先反伸后旋转，效果完全相同。2）Lin与简单对称要素或其组合的等效关系：Li1＝L1＋C＝CLi2＝L1＋P⊥＝P（P⊥Li2）Li3＝L3＋C（L3∥Li3）Li6＝L3＋P⊥（L3∥Li6，P⊥L3）Li4不能用简单对称要素或其组合表示；Li6具有独立意义！

注意判别！5．旋转反映轴(Lsn)对称操作：旋转

＋

反映

所有的旋转反映轴均可由其他简单的对称要素或组合表示，没有独立的意义，

不作强调。四、晶体的宏观对称要素的组合一个晶体可以拥有多个对称要素，这些对称要素之间相互必须满足相互间的对称。根据这一规律，对称要素间的组合关系可归纳成以下几个组合定律：对称要素组合定理举例：定理1：LnL2LnnL2

(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理：L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?定理2：LnPLnP

C(n为偶数)逆定理：LnCLnP

C(n为偶数)PCL2PC

说明L2、P

、C三者中任两个可以产生第三者

对称要素组合定理1.Ln×L2⊥→LnnL22.Ln×P∥→LnnP3.Ln×P⊥＝Ln×C→LnPC（n为偶数）4.Lin×P∥＝Lin×L2⊥→Lin（n∕2）L2（n∕2）P(n为偶数）→LinnL2nP（n为奇数）5.Ln×P∥×L2⊥→LnnL2(n+1)PC(n为偶数)→LnnL2nPC(n为奇数)

五、晶体32个对称型及其推导1、对称型（点群）：1）对称型*：晶体宏观对称要素之组合。

由于这些对称要素相交于晶体的几何中心，故对称型也称为点群*。2）对称型（点群）的全面符号（一般符号）的书写方式为：

对称轴（先高次，后低次）+对称面+对称中心

如：立方体的对称型（点群）符号应写为3L44L36L29PC从群论推导证明，晶体中可能出现的对称型（点群）总共只有32种。（P32表3-4）32个对称型分类见表3-4。

2、晶体对称要素的极射赤平投影1）对称面：平移至投影中心与球面交线的赤平投影。

同于晶体上双晶面、双晶结合面的投影。水平的：水平大圆，即基圆。（虚线表示无P）直立的：为直线。倾斜的：以基圆直径为弦的大圆弧。2）对称轴：平移至投影中心与球面相交点的赤平投影。同于晶体上的各种直线（晶面法线、结晶轴、晶棱、晶带轴、双晶轴）的投影。表示方法…水平的：在基圆上。直立的：在基圆中心。倾斜的：在基圆内。返回立方体（3L44L36L29PC）对称要素的

极射赤平投影m1m2r1r2r5r63、对称型的推导：

根据对称要素的组合定理进行直观推导。对称要素的组合分类：A类：高次轴不多于一个的组合；B类：高次轴多于一个的组合。1）A类对称型推导：27种

A类对称要素可能的组合有7种情况：表3-2P37。2）B类对称型的推导：5种对称型推导简表共同式LnLinLnnL2

LnP(C)

LnnPLn(偶)nL2(n+1)P(C)Ln（奇）nL2nP(C)

Lin（偶）(n/2)L2(n/2)P

A类n=1L1Cn=2L2PL2PC3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi42L22Pn=6L6Li6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi63L23PB类3L44L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC六、晶体的对称分类晶体是根据其对称特点进行合理的科学分类的。

1、属于同一对称型的所有晶体归为一类，称为晶类。晶体的32种对称型即分为32个晶类。

晶类的名称由单形的一般形的名称确定。见P32表3-4

2、根据高次轴的有无及个数，将晶体划分为3个晶族1）低级晶族：无高次轴2）中级晶族：只有一个高次轴。3）高级晶族：有多个高次轴。3根据各晶族的对称特点（Ln或Lin的轴次高低及其个数）共划分为七个晶系：①

三斜晶系（triclinicsystem）：无L2，也无P。②

单斜晶系（monoclinicsystem）：L2或P不多于1个。③

斜方晶系（正交晶系，orthorhombicsystem）：L2或P多于1个。④三方晶系（trigonalsystem）：唯一的高次轴为L3。⑤四方晶系（正方晶系，tetragonalsystem）：L4或Li4只有1个。⑥六方晶系（hexagonalsystem）：L6或Li6只有1个。⑦

等轴晶系（isometricsystem）（立方晶系，cubicsystem）：有4L3。

P35表3-4晶体的对称分类应熟记！P36表3-532对称型按物性分类表3-632对称型按在自然界矿物中出现的概率分类32对称型按物性分类

介电晶体类（32个对称型）压电晶体类（不具对称中心，有多个极轴，除3L44L36L2外，共有20个对称型）有对称中心C（共11个对称型）热电晶体类（极性晶体，具单向极轴，共10个对称型）3L2、L33L2、L44L2、L66L2、Li4、Li6、3L24L3、3L44L36L2、3Li44L36P、Li42L22P、Li63L23PLi1、L2PC、L4PC、L3PC、L6PC、3L24L33PC、3L23PC、L44L25PC、L66L27PC、3L44L36L29PCL33L23PCL1、L2、L3、L4、L6、P、L22P、L44P、L33P、L66P七、五次对称轴、二十面体准晶

1、五次对称轴及准晶的发现L5L8L10L12

五方、八方、十方及十二方晶系

2、二十面体配位如：Al12Mn二十面体配位MnAl本章重点总结：1)对称要素：P,Ln,C,Lin；

2)对称要素组合：4个定理；3)对称型：要学会用组合定理判断正确与否；4)晶体的对称分类：3个晶族，7个晶系，32个对称型（点群）或称32晶类。