《金新学案》高三数学一轮复习 2.6 对数函数 （理）福建

第六节对数函数对数形式特点记法一般对数以a(a＞0，且a≠1)为底的对数logaN自然对数以e为底的对数ln__N常用对数以10为底的对数lg__N1．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数2.对数的恒等式、换底公式及运算性质(1)恒等式：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1，N使式子有意义)．(2)换底公式：logbN＝(a，b，N的值使式子均有意义)．(3)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM.

利用对数的运算性质时，要注意各个字母的取值范围，只有等式两边的对数都存在时，等式才成立．例如：log2[(－2)×(－5)]存在，但log2(－2)、log2(－5)都不存在．因而log2[(－2)×(－5)]≠log2(－2)＋log2(－5)．图象a＞10＜a＜1性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0(5)在(0，＋∞)上是增函数(6)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(7)在(0，＋∞)上是减函数3．对数函数图象与性质同真数的对数值大小关系如图：当函数单调递增时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越大，即1＜a＜b；当函数单调递减时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越小，即0＜c＜d＜1，也可以看图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大，即0＜c＜d＜1＜a＜b.4．反函数对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线y=x对称．

函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的值域，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的值域是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域．1．以下等式(其中a＞0，且a≠1；x＞y＞0)：①loga1＝0；②logax·logay＝loga(x＋y)；③loga(x＋y)＝logax＋logay；④logaa＝1；⑤loga(x－y)＝；⑥loga＝loga(x－y)，其中正确命题的个数是(

)A．1

B．2C．3D．4【解析】由对数的性质及运算法则可知①④正确，其他命题错误．【答案】

B.2．(2009年湖南卷)若log2a＜0，＞1，则(

)A．a＞1，b＞0B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【解析】∵log2a＜log21，∴0＜a＜1.∵＞1＝，∴b＜0.【答案】

D3．(2008年安徽卷)集合A＝{y∈R|y＝lgx，x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是(

)A．A∩B＝{－2，－1}B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞)D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}【解析】

A＝{y∈R|y＞0}，B＝{－2，－1,1,2}．故(∁RA)∩B＝{－2，－1}，故选D.【答案】

D4．2lg＋log25·lg2＝________.【解析】

2lg＋log25·lg2＝2·lg2＋log25·lg2＝lg2＋lg5＝1.【答案】

15．函数y＝的定义域是________．【解析】要使y＝有意义【答案】【思路点拨】

观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值．【解析】

已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．【解析】

(1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)(2)因为μ＝－(x－1)2＋4≤4，所以y＝log4μ≤log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.

在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确．1．设a＞0，a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)的单调区间．【解析】

因x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2∴lg(x2－2x＋3)≥lg2.∵y＝alg(x2－2x＋3)有最大值∴0＜a＜1∵3－2x－x2＞0，∴－3＜x＜1∴t(x)＝3－2x－x2在(－3，－1]上递增，在[－1,1)上递减．∴f(x)＝loga(3－2x－x2)的增区间为[－1,1)减区间为(－3，－1]．

已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【解析】

(1)由题设，3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0且a≠1，∵a＞0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a＞0，

这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立．2．是否存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．【解析】对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主．以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题．【解析】

∵0＜lge＜1，∴lge＞lge＞(lge)2.∴a＞c＞b.【答案】

B【解析】

当x＞0时，因为f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)．∴f(x＋6)＝f(x)．即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，∴