（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第二章函数及其应用2.2函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值【教材·知识梳理】1.增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：①增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的_______________的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；②减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的_______________的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.任意两个自变量f(x1)<f(x2)任意两个自变量f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是_______或_______，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得_______.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.增函数减函数f(x)≤M或f(x)≥Mf(x0)=M【常用结论】

函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数.(2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞，-]和[，+∞)，减区间为[-，0)和(0，].(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若定义在R上的函数y=f(x),有f(-1)<f(3),则函数y=f(x)在R上为增函数. (

)(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(

)(3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (

)(4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到. (

)提示:(1)×.由增函数的定义可知:函数的单调性体现了任意性,即对于单调区间上的任意两个自变量x1,x2,均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),而不是区间上的两个特殊值.(2)×.函数在[1,+∞)上是增函数,说明其增区间D⊇[1,+∞),而增区间不一定是[1,+∞),所以该说法错误.(3)×.多个单调区间一般不能用“∪”符号连接,而应用“,”或“和”连接,而本题用“∪”就不正确,如.(4)√.由单调性的定义可知是正确的.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略函数的定义域考点一、T2、32分式中分子、分母均含变量,不经变换直接求值域考点二、T13忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式考点三、角度3【教材·基础自测】1.(必修1P45例2改编)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是(

)

A.y=-x B.y=x2-xC.y=lnx-x D.y=ex【解析】选A.对于选项A,y=在(0,+∞)内是减函数,y=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=ex在(0,+∞)上是增函数.2.(必修1P46练习AT3改编)函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是________.

【解析】f(x)=x2-2x是开口向上的二次函数,对称轴为x=1,增区间为[1,+∞)(或(1,+∞)).

答案:[1,+∞)(或(1,+∞))3.(必修1P46练习AT2改编)函数y=在[2,3]上的最大值是________.

【解析】该函数在[2,3]上单调递减,故当x=2时,函数取得最大值,最大值为2.

答案:24.(必修1P79自测与评估T1(4)改编)若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.

【解析】由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),所以m≤2.

答案:(-∞,2]解题新思维最值和单调性的几个结论的应用

【结论】1.设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则①x1-x2>0(<0),f(x1)-f(x2)>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增;x1-x2>0(<0),f(x1)-f(x2)<0(>0)⇔f(x)在D上单调递减;②>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增;③<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).3.函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.4.“对勾函数”y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞);减区间为[-,0)和(0,],且对勾函数为奇函数.典例1.函数f(x)=-x+在上的最大值是 (

)A.

B.-

C.-2

D.2【解析】选A.易知f(x)在上是减函数,所以f(x)max=f(-2)=2-=.2.已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范围是________.

【解析】因为对任意x1≠x2都有>0,所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以解得≤a<2.故实数a的取值范围是.答案:

【迁移应用】1.(2020·广州模拟)下列函数f(x)中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是 (

)A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|C.f(x)=-x

D.f(x)=ln(x+1)【解析】选C.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调,对于f(x)=-x,因为y=与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.2.已知函数f(x)=则f(f(-3))=_______,f(x)的最小值是_____.

【解析】因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1,所以f(f(-3)