《向量的数乘运算》同步作业

《向量的数乘运算》同步作业一．选择题1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))A【解析】eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).故选A．2．如图，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a＋eq\f(3,4)b B．eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bD【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b3．已知实数m，n和向量a，b，给出下列说法：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④B【解析】易知①和②正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故④正确．故选B.4．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．10 B．－10C．2 D．－2C【解析】因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.故选C．5．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行B．同向平行C．一定不平行D．不能判断两个向量的关系A【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故选A．二．填空题6．化简eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________.0【解析】原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．±eq\f(3,5)【解析】由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝eq\f(3,5)，即λ＝±eq\f(3,5).8．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与向量a＋2b平行，则实数λ＝________.eq\f(1,2)【解析】由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝eq\f(1,2).三．解答题9．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5e－3f.(1)将eq\o(AD,\s\up6(→))用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．【解析】(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以根据数乘向量的定义，知eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所