期权定价的二叉树模型介绍

16期权定价的二叉树模型假设条件:(1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模型(2)股票市场与期权市场是完全竞争的,市场运行是非常具有效率的(3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不存在税收问题(4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信用风险或违约风险26.1单期模型单期二叉树期权定价模型设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升至Su，或者股票价格下降至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1，d<1。与此相对，股票看涨期权的初始价值为c，在下一期（欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至cu，要么下降至cd，作图。二叉树、节点、路径36.1单期模型SC由于这个图形犹如一根叉开的树枝，所以被称为“二叉树”，模型中，每一个数值被称作是一个节点，每一条通往各节点的线称作路径。SuSdCuCd4第一节单期模型[例8-1]设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为$110。在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？5分析：

当前

下一期股票价格（su）=$130

u=1.3期权价值（cu）=股票价格（s）=$100max(su-k，0)=$20期权价值（c）=？d=0.9

股票价格（sd）=$90期权价值（cd）=max（sd-k,0)=06资产组合的目前成本与未来价值7$130×δ-$20=$90×δ(风险中性假定）Δ=0.5股票上涨：VT=$130×0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.118按上分析：股票上涨VT=Suxδ-Cu股票下跌VT=Sdxδ-CdSuxδ-Cu=Sdxδ-Cd6.1.2单期二项式期权定价模型的通用公式

Δ被称为套期保值比率，它代表无风险资产组合所要求的股票持有量。设无风险利率为r,且d<r<u(一定成立，否则市场失衡，就会产生套利）保值型资产组合的现值为：（Suxδ-Cu）e-rt，或者（Sdxδ-Cd）e-rt;而目前资产成本：Sxδ-C；市场均衡时，二者相等（Sdxδ-Cd）e-rt=Sxδ-C；C=Sxδ-（Sdxδ-Cd）e-rt;9均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率6.1.3期权定价与无风险套利10假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下11假定定价价格格为为$8.00，在在期期权权价价格格被被高高估估的的情情况况下下12期权权定定价价中中的的风风险险中中立立假假设设二叉叉树树期期权权定定价价模模型型并并不不依依赖赖于于投投资资者者对对待待风风险险的的态态度度。。也也不不涉涉及及股股票票价价格格涨涨跌跌的的概概率率。。究究其其原原因因是是因因为为在在金金融融市市场场上上有有价价证证券券的的价价格格涨涨跌跌的的概概率率都都已已经经反反映映在在现现行行的的市市场场价价格格之之中中，，所所以以没没有有必必要要再再对对以以股股票票作作为为基基础础资资产产的的期期权权定定价价另另外外作作出出股股票票涨涨跌跌概概率率的的假假设设。。由由此此可可见见，，公公式式中中的的q和1-q，从本本质上上讲都都不是是概率率，但但其数数学特特征与与概率率完全全相同同，因因此q和1-q也被称称作“假概率率”。13将q和1-q解释成成股票票价格格上涨涨和下下跌的的假概概率，，实际际上默默认了了定价价中风风险中中立估估价原原则假假定。。推导导如下下：E(ST)=qSu+(1-q)SdE(ST)=qS(u-d)+Sd再将q=(erT-d)/(u-d)代入得：E(ST)=SerT14二项式式期权权定价价中的的u和d二叉树树期权权定价价模型型中u和d与基础础资产产价格格的波波动性性是有有联系系的，，即u和d的数值值取决决于σ的大小小及∆∆t的长短短。推推导如如下：：156.2两步二二叉树树期权权定价价模型型欧式看看涨[例6-4]有一种种执行行价格格为$110，期限限为6个月（（每3个月算算一期期，共共两期期）的的欧式式看涨涨股票票期权权，作作为其其基础础资产产的股股票价价格每每隔3个月变变动一一次，，或上上涨30%，或下下跌10%，且u和d在期权权的有有效期期内保保持不不变，，求期期权期期初价价值。。16[例6-5]有一种种执行行价格格为$110，期限限为6个月（（每3个月算算一期期，共共两期期）的的欧式式看跌跌股票票期权权，作作为其其基础础资产产的股股票价价格每每隔3个月变变动一一次，，或上上涨30%，或下下跌10%，且u和d在期权权的有有效期期内保保持不不变，，求期期权期期初价价值。。欧式看看跌期期权的的两期期定价价模型型17[例6-6]设某公公司股股票的的现价价为$80，在3期（每每6个月为为1期，180月）二二杈树树模型型中，，假定定u=1.5,d=0.5,敲定价价格$80,无风险险利率率为20%。计算算模型型各节节点的的股价价、期期权价价、假假概率率、δ值无风险险资产产组合合的套套期保保值率率186.3期权定定价N期模型型的通通用公公式196.4美式期期权的的二叉叉树定定价模模型美式看看涨期期权的的定价价及其其不可可能提提前执执行的的理由由无红利利支付付情况况下，，美式式看涨涨期权权的定定价例：某某公司司股票票的现现行市市价为为$100，假定定股价价每三三个月月涨跌跌一次次（即即⊿t=0.25年），，u=1.2，d=0.8。假定定有一一项以以该公公司股股票为为基础础资产产的美美式看看涨期期权，，执行行价格格为$104，期限限为9个月，，当时时市场场上的的无风风险利利率为为10%。判断断提前前执行行的可可能性性及期期初价价值。。1）股价价二杈杈树图图：172.8Cuuu=68.8144120115.2Cuud=11.2100968076.8Cudd=06451.2Cddd=020美式看看跌期期权的的定价价及其其提前前执行行的可可能性性例：某某公司司股票票的现现行市市价为为$100，假定定股价价每三三个月月涨跌跌一次次（即即⊿t=0.25年），，u=1.2，d=0.8。假定定有一一项以以该公公司股股票为为基础础资产产的美美式看看跌期期权，，执行行价格格为$104，期限限为9个月，，当时时市场场上的的无风风险利利率为为10%。判断断提前前执行行的可可能性性及期期初价价值。。1）股价价二杈杈树图图：172.8Pu3=0144120115.2Pu2d=0100968076.8Pud2=27.26451.2Pd3=52.821T-t时理理论价价值Pu2=0Pud=11.59Pd2=37.43T-t时的执执行价价值（（内在在价值值）Pu2=max(104-144,0)=0Pud=max(104-96,0)=$8Pd2=max(104-64,0)=40在计算算Pu和Pd时，应应使用用各自自持有有价值值或执执行价价值中中较大大的一一个。。Pu=4.96对应执执行价价格为为：Pu=0Pd=23.4Pd=24P=12.94226.5股价指指数期期权、、外币币期权权【例6-8】有一项项美式式的英英镑看看跌期期权，，期限限为6个月，，即期期汇率率为$1.51/₤，期权权的执执行价价格为为$1.50/₤₤，英镑镑兑美美元的的波动动性或或易变变性为为12%。美国国的无无风险险利率率为10%，英国国的无无风险险利率率为11%。建立立一个个以2个月为为1期的外外币二二叉树树期权权模型型。【例6-9】美式股股指3月期期期货的的看涨涨期权权，期期货合合约的的成交交价格格为1000点，期期权的的执行行价格格也为为1000点，市市场上上的无无风险险利率率为12%，在无无风险险估价价原则则下，，它等等于期期货合合约的的收益益率。。另外外，该该种股股票价价格指指数的的波动动性为为30%，，假假设每每期为为1个月，，通过过构筑筑一个个3期二叉叉树模模型为为这项项期货货期权权定价价。作业假定某某公司司股票票的现现行市市场价价格为为￥20，，在一一个3期（（每期期为3个月月）模模型中中，有有一次次固定定数额额的股股息（（￥1.00））支付付，发发生在在第二二期末末，股股价波波动按按u=1.1，，d=0.95计。。市场场上的的无风风险利利率为为12%，，一种种执行行价格格为￥￥20的欧欧式看看跌期期权的的期初初价格格为多多少？？9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。01:28:5701:28:5701:281/6/20231:28:57AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2301:28:5701:28Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。01:28:5801:28:5801:28Friday,January6,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2301:28:5801:28:58January6,202314、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。06一一月月20231:28:58上上午午01:28:581月月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、行动出成果果，工作出财财富。。2023/1/61:28:5801:28:5806January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。1:28:58上上午午1:28上上午午01:28:581月月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。01:28:5801:28:5801:281/6/20231:28:58AM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2301:28:5801:28Jan-2306-Jan-2312、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。01:28:5801:28:5801:28Friday,January6,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2301:28:5801:28:58January6,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。06一一月20231:28:58上午午01:28:581月-2315、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2023/1/61:28:5801:28:5806January202317、空山新新雨后，，天气晚晚来秋。。。1:28:58上午午1:28上午午01:28:581月-239、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、阅阅读读一一切切好好书书如如同同和和过过去去最最杰杰出出的的人人谈谈话话。。01:28:5801:28