频率与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

PAGE10.3频率与概率知识梳理知识梳理在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏高概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定与事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率估计概率P(A)知识典例知识典例题型一频率与概率例1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是()A．频率就是概率 B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关 D．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，事件A出现的次数除以总数，是变化的概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件A的概率，是不变的故选：C巩固练习巩固练习下列关于概率的说法正确的是（）A．频率就是概率B．任何事件的概率都是在(0，1)之间C．概率是客观存在的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【分析】根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案.【详解】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，故选：C.题型二用频率估计概率例2一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车的信息,时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日,发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为_______.【答案】【分析】因为实验次数较大,可用频率估计概率,根据频率的计算公式,即可求得答案.【详解】实验次数较大,可用频率估计概率概率.故答案为:.巩固练习巩固练习某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示．投篮次数n/次8101520304050进球次数m/次681217253238进球频率(1)填写上表中的进球频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？【答案】（1）见解析；（2）0.8【解析】试题分析：（1）由题意可得：频率，即，算出数据．（2）在同一条件是进行大量试验，频率会稳定在一个常数附近，我们就用这个常数做为概率的估计值．试题解析;(1)表中从左到右依次填：0．750.80.80.850.830.80.76.(2)由于进球频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.题型三随机模拟例3用随机模拟方法得到的频率()A．大于概率 B．小于概率 C．等于概率 D．是概率的近似值【答案】D【分析】根据频率和概率的定义,当实验数据越多频率就越接近概率,即可求得答案.【详解】当实验数据越多频率就越接近概率用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,是接近概率.故选:D.巩固练习巩固练习用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则()A．m>nB．m<nC．m=nD．m是n的近似值【答案】D【解析】随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计．题型四实际应用例4某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率（结果精确到0.001）；（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率.【答案】（1）见解析（2）贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55.【分析】（1）根据所给表格,依次计算各组对应的频率值即可.（2）随着测试人数的上升,可知频率值趋近于某个值,即为概率值.【详解】（1）根据频率计算公式,可得如下表所示:贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率0.5330.5400.5200.5200.5120.503发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550（2）随着测试人数的增加,两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55.故贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55.巩固练习巩固练习某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000根，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如表所示：分组频数48121208223频率分组频数19316542频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，估计该种型号灯管的使用寿命不足1500h的概率.【答案】（1）见解析；（2）0.6.【分析】（1）根据公式，填写表格；（2）首先计算样本中寿命不足1500h的频数，再用频率估算概率.【详解】（1）；（2）0.6.分组频数48121208223频率0.0480.1210.2080.223分组频数19316542频率0.1930.1650.042（2）样本中寿命不足1500h的频数是，所以样本中寿命不足1500h的频率是，即该种型号灯管的使用寿命不足1500h的概率约为0.6.巩固提升巩固提升1、某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表分数段人数256812642那么分数在中的频率约是（精确到0.01）（）A．0.18 B．0.47 C．0.50 D．0.38【答案】A【分析】根据成绩分布表,先求得总人数,即可求得分数在中的频率.【详解】某班总人数,成绩在中的有8人,其频率为.故选:A2、用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法【答案】B【解析】随机数容量越大，概率越接近实际数．3、（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有()A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【分析】根据概率和频率定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选:CD.4、下列命题中不正确的是()A．根据古典概型概率计算公式求出的值是事件A发生的概率的精确值B．根据古典概型试验,用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数,得到的值是的近似值C．频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率D．5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可性相同【答案】C【分析】根据概率的定义以及古典概型概率计算方法逐个选项判断即可.【详解】对于A，即古典概型概率计算公式，很明显正确的；对于B，随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B项命题正确；对于C，频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，但与概率的趋近程度不是试验次数的函数，C命题不正确；对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是，D命题正确；故选：C.5、某养鸡厂用鸡蛋孵化小鸡，用200个鸡蛋孵化出170只小鸡，由此估计，要孵化出2500只小鸡，大约需要鸡蛋的个数为（）A．3022 B．2941 C．2800 D．3125【答案】B【分析】根据样本的数据来估计要孵化出2500只小鸡，大约需要鸡蛋的个数.【详解】解：设大约需要个鸡蛋，则解得故选：【点睛】本题古典概型的概率计算以及概率的应用，属于基础题.6、下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，但不是概率；③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是______________.【答案】①③④【分析】根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可.【详解】对于①,由频率和概率概念:频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确;对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误.对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确;对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确.由概率和频率的定义中可知①③④正确.故答案为:①③④7、某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:鱼卵数200600900120018002400孵化出的鱼苗数188548817106716142163孵化成功的频率0.9400.9130.908①0.897②（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?【答案】（1）（2）0.9（3）【分析】（1）计算的值，即可得答案；（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，即可得答案；（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.【详解】（1），所以①②对应的频率分别为.（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.（3）大概需要鱼卵(个).8、某市统计近几年婴儿出生数及其