2023年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-06解答题（提升题）

2023年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-06解答题（提升题）一元一次不等式的应用（共1小题）（2023*2023校级一模）某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元.（1） 购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2） 根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多少个篮球？二次函数综合题（共6小题）（2023-2023校级一模）如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点4（3,0）,交），轴于点B,（1） 求抛物线和直线A8的解析式：（2） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（3） 设点。（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点。，使S^QAB=S^CAB.若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（2023*2023校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=^-x2+/>.v+c与x轴的正半轴交于点。，与），轴交于点C,点A在抛物线上，ABly轴于点B.△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE,连接DE.当Lx2+bx+c<0时，x的取值范围是-旦<x<2.6 5（1） 求该抛物线的解析式；（2） 求证：四边形08ED是矩形；（3） 在线段OD上找一点N,过点N作直线〃'垂直x轴，交OE于点F,连接DF,当的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P,连接OP、DP.使得3PD+大DOE=90",求点P的坐标.(2023-2023校级一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线>■=-jr+2kx+2lc+\与x轴的左交点为A,右交点为B,与〉，轴的交点为C,对称轴为直线/,对于抛物线上的两点(xi,yi),3,(Xi<k<x2)»当xi+x2=2时，yi-y2=0恒成立.求该抛物线的解析式；点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作丄4C于点N,求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；点P是直线/右侧抛物线上的一点，P。丄/于点Q,AP交直线/于点F,是否存在这样的点P,使△PQF与相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.(2023*2023一模)二次函数y=ajr+bx+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点，与)，轴交于点C,顶点为E.求这个二次函数的表达式：如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标：如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP,取OP中点。，连接QC,QE,CE,当八CEQ的面积为12时，求点P的坐标.(2023•2023-模)如图，拋物线>'=(u-2+-|a:+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是A(L0),C(0,-2),连接AC,BC.求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式：将沿BC所在直线折叠，得到△DBC,点A的对应点。是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标：若点D不在对称轴上，请说明理由：点P是抛物线图象上的一动点，当』PCB=PABC时，直接写出点P的坐标.(2023*2023—模)如图，己知直线AB： 与抛物线y=—-!相交于点A(a,〜*)、3 3 3点B,点B在x轴上，且对于任意实数x,不等式丄tx2/tx-t〉L成立.3 3 3求该抛物线及直线A8的解析式；点M为该抛物线上的一点，过点M作MNLx轴于点N,过点A作AHA.X轴于点H,当以点M、N、B为顶点的三角形与△AH8相似，直接写出满足条件的全部点M的横坐标，并选取其中两种情况写出解答过程；试问，在抛物线y=^lx2^-tx-t上是否存在点Q,使得△QAB的面积等于△AOB的面积的23 3倍？如果存在，请直接写出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.四边形综合題(共2小题)(2023*2023-模)如图甲，在△ABC中.匕ACB=90°.AC=4.BC=3.如果点P由点B出发沿曲方向向点A匀速运动.同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为每秒钟1个单位长度.连接PQ，设运动时间为7秒钟(0</<4).设△AP。的面积为S,当实数/为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？在(1)的前提下.当S取得最大值时.把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；

如图乙，连接PC,将△PQC沿。C翻折，得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时，求实数，的值.(2023*2023-模)在矩形ABCD中，AB=12,尸是边A8上一点，把ZiPBC沿直线PC折叠，顶点£的对应点是点G,过点B作BE丄CG,垂足为E且在4。上，BE交PC于点F.如图1,若点E是AO的中点，求证：△AEB#^DEC;如图2,当AD=25,且AE<DE时，求堡的值；PC圆的综合題(共5小题)(2023*2023校级一模)如图，AB是圆0的直径，弦CD与AB交于点H,ZBDC=ZCBE.求证：8E是圆。的切线；若CD1AB,AC=2,BH=3,求劣弧BC的长；如图，:若CD)BE,作DF//BC,满足BC=2DF,连接尸H、BF,求证：FH=BF.(2023•2023校级一模)如图，在直角梯形ABC7)中，AB//CD,ZB=90°,E是BC的中点，连接AC,AE,DE,DE交AC于点F,且此时ZAED=90°.

（1） 求证：△A8Es/\ec£）：（2） 求证：以BC为直径的OE与厶D相切；（3） 对角线AC交。E于点G,川3=6,8C=8,求AF的长.（2023*2023一模）如图1,将矩形纸片ABCD沿直线"折叠，顶点8恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，。重合），折痕为MN,点M,N分别在边AD,8C上，连接MB,MP,BP,BP与MN相交于点F.（1） 求证：△BFNs/\bcP；（2） ①在图2中，作出经过M,D,P三点的00（要求保留作图痕迹，不写作法）；②随着点P在CD上运动，当①中的0O恰好与8M,BC同时相切，如图3,若AB=4,求£>P的长.（3） 在②的条件下，点。是。。上的动点，则AQ的最小值为 .（2023*2023校级一模）如图，在等边△ABC中，M是边8C延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点。，延长至N,使得BN=AM,连接CMMN,（1） 猜想的形状，并证明你的结论；（2） 请你证明CN是。0的切线：（3） 若A£）：AB=3：4,BN=8,求等边ZVIBC的面积.（2023*2023一模）如图，已知点。是ZUBC的外接圆的圆心，AB=AC,点D是弧AB上一点，连接

并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E.求证：例平分ZCDE：判断直线AE与。。的位置关系，并证明;若DE=3,BD=6,AD=5,求AC的长.五.相似三角形的判定与性质(共1小题)(2023*2023-模)如图，在正方形A8CD中，E是对角线BD上任意一点(BE>DE),CE的延长线交A。于点F,连接AE.求证：4ABEs逐DE：当BE=3DE时，求tan/1的值.广东省20232023年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-06解答题（提升题）,考答案与试题解析一元一次不等式的应用（共1小题）（2023-2023校级一模）某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元.（1） 购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2） 根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多少个篮球？【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得：/x+3y=340,15x+2y=410解得Jx=5。，ly=80答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；（2）设购买“个篮球，则购买（96-Q个足球，根据题意得：8Oa+5O（96-a）<5720,解得：3..•“是整数，.•.aW30,答：最多可以购买30个篮球.二.二次函数综合题（共6小题）（2023*2023校级一模）如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点B.（1） 求抛物线和直线AB的解析式；（2） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使Sa/mb面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（3） 设点Q（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S^qab=S^cab.若存在，直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.(b=3 ,(b=3 ,l3k+b=0,解得:fk=-llb=3把A(3,0)代入解析式求得a=-1,.'.y=-(x-1)2+4=-jp+2x+3,当x=0时，y=3,：.B(0,3),设直线AB的解析式为：把A(3.0),B(0,3)代入y=kx+h中，得:直线AB的解析式为：y=-什3：(2)存在，如图2,连接OP,设P(x,-x2+2x+3')(0<x<3),=Sa.obp+S^aop-Smob-A.3,v+A«3(-xi+2x+3)-丄X3X3TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2=-旦p+勺\o"CurrentDocument"2 2=-J.(x2-3x+2-2)\o"CurrentDocument"2 44=-J.(X-—)2+2lL,\o"CurrentDocument"2 2 8V-旦<0,2.•.当x=3lt, 的面积最大，此时/>(旦，亜)；\o"CurrentDocument"2 24(3)存在，分两种情况：①当。在AB的上方时，如图3,过点C作CD//AB,交抛物线于。，连接。8,QA,此时SaACB=S&设CD的解析式为：y=-把C(1,4)代入得:4=-1+m,:・m=5,-X"+2x+3=-x+5,解得：X1=1,X2=2,•.,点。与点C不重合，:.Q(2,3):②当。在AB的下方时，由①知：直线CD与)，轴的交点为(0,5),即直线AB向上平移2个单位,将直线AB向下平移2个单位得到y=-x+1,:.-,P+2x+3=-x+1.

解得：xi=3+^,a2=3zVTt_,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2...q（35,-1W17）或（3如,土叵.\o"CurrentDocument"2 2 2 2综上，点Q的坐标是（2,3）或（也1Z,土叵）或（也豆，土叵）.宀2板”与顽的正半轴交于g\o"CurrentDocument"2 2 2 2宀2板”与顽的正半轴交于g3.（2023*2023校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与y轴交于点C,点A在抛物线上，AB丄y轴于点8.△A8C绕点B逆时针旋转90°得到△OBE,连接DE.当LY2+bx+c<0时，x的取值范围是-l<x<2.6x 5（1） 求该抛物线的解析式；（2） 求证：四边形O8ED是矩形：（3） 在线段OD上找一点N,过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F,连接OF,当△£）»尸的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线，〃上找一点P,连接OP、DP.使得/OPD+ZDOE=90°,=90°,求点P的坐标.【解答】⑴解：•.•当gc<。时,X的取值范围是-訐<2,.••抛物线与.••抛物线与x轴的两个交点为（2,0）,(-QQX25V+c=05石X4+2b+c=0解得解得C=-l(2)证明：由(1)可知£>(2,0),C(0,-1),：,OD=2,OC=1,・.・曲丄)，轴，.•.△A8C是直角三角形，VAABC绕点B逆时针旋转90°得到△O8E,；.OB丄BE,AB=OB,设A(-mm),:.m=^-nr- -1,6 6解得m=-1或/n=A,5・・・A(-1,1),・・・BO=l,:・BC=BE=2,:,BE=OD,・.N8OD=90°,:.BE//OD,.・・四边形OBED是矩形；(3)•:E(2,1),直线OE的解析式为设N(〃，0),则F(〃，丄》),2:.S=1~XDNXFN=、X(2-〃)xX?=-A(n-1)2+X2 2 2 4 4•..N在线段OD上，.•.0W〃W2,当〃=1时，S有最大值，此时N(1,0),F(1,丄)，2•.NPNO=90°,.IZEOD+zTPOE=90°,VZOP£)+ZDOE=90o,ZPOE+ZOPN=ZOPD,点与。点关于/对称，：./OPN=ZNPD,:.ZOPN=ZPOE,:.PF=OF,

设P(设P(1,r),1一扼21Tt=22...P点坐标为（1,匝+丄）或（1,-匝+丄）.22 224.（2023*2023校级一模）在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=-普+2去+2。+1与x轴的左交点为4.A,右交点为B,与〉，轴的交点为C,对称轴为直线/,对于抛物线上的两点（xi,yi）,（&,>>2）（xi<k<X2）,当Xl+X2=2时，>'1->-2=0恒成立.（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN丄AC于点N,求线段的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线/右侧抛物线上的一点，PQ丄/于点Q,AP交直线/于点尸，是否存在这样的点P,使△PQF与ZkACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）...（xi,yi）,（灰，义）在抛物线、=-«+2去+20+1上，.•.X|+X2=2hX\X2=-2k1-1,yi=-x，+2Axi+2妒+1,>*2=-x22+2te+2Jp+h/•yi-y2=(-xi2+2fcri+2/^+1)-(-x22+2fcr2+2^2+l)=(jq-xi)(xi+x2-2k),,:当X1+X2=2时,yi-)2=0恒成立，・..(A2-xi)(2-2k)=0,Vxi</：<X2»••・2・2R=0,:・k=\,.・・该抛物线的解析式为y=-。+2^3：(2)由(1)知：y=-A2x+3,令y=0,得-j+2x+3=0,解得：Xi=T,用=3,:.A(・1,0),B(3,0),令x=0,得y=3,AC(0,3),在Rt^AOC中，AC=VoA2-+OC2=Vl2+32=V10»设直线AC的解析式为y=mx+n,则(~m+n=0,ln=3解得：柄=3,ln=3直线AC的解折式为y=3x+3,如图1,过点M作MD//y轴交AC于点O,设M(/,-T+2/+3)(-1</<0),则O(/,3/+3),:.MD=-r+2/+3-(3r+3)=-r-t,'：MN1.AC,:.匕MND=9Q‘=ZAOC,•:MD//OC,』MDN=ZACO,:.4MDNs4AC0,.MN=MD即MN=-t2-t"0AAC*'~V10':.MN=-^2-(Q)2+^IL,10 2 40..._V10<0)10

.•.当t=-l时，线段MN取得最大值匝，此时，M(-1, :2 40 24(3)存在.'•y=-^+2^+3=-(x-1)?+4,:.抛物线的对称轴为直线x=1,设P(m.-m2+2m+3)(m>1),则Q(1,-m2+2m+3),过点P作PH丄x轴于点H,则H(m,0),,:PQ丄I,l±x轴，.♦.PQ〃x轴，：.4FPQ=ZPAH,'：』PQF=ZAHP,：4PFQsMPH,当点P在x轴上方时，如图2,PH=-m2+2m+3,AH=m+\,又OA=[,OC=3,若厶PFQs4CAO,则左APH<^/\CAO,2PH—AHgn-m+2m+3—m+]OAOC1 3解得：m=-1(舍去)或/n=E,3当小=旦时，-m2+2/„+3=-(旦)2+2X旦+3=11,3 3 3 9:.p(A,11):399=_m+2m+3恥PFQs/\ACO,9=_m+2m+3；AH=PH,即m+1**0Aoc''~T解得：m=-1(舍去)或m=0(不符合题意，舍去)；当点P在x轴下方时，如图3,PH=m2-2m-3,AH=m+l,若左PFQsMM),则△APHs/WO,PH_AH即m2-2irr3—m+1"OAOC*1解得：m=-1(舍去)或»i=—,3当时，-„?+2”i+3=-(_12_)2+2xA2.+3=-3 3 3 9:.P(12.,-.13)；3 9若左PFQs*C。,则左APH^^ACO,

•AH=PH（即m+1m2-2m~3"OAOC*~T3解得：m=・1（舍去）或/w=6,当m=6时，-冷+2川+3=・62+2X6+3=-21,:.P:.P（6,21）:-迪)或(6,21).5.(2023*2023一模)二次函数y=(vr+bx+S的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点，与〉，轴交于点C,顶点为E.

求这个二次函数的表达式：如图①，£＞是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接0P,取OP中点。，连接QC,QE,CE,当左CEQ的面积为12时，求点P的坐标.(2)如图1,图2,连接(2)如图1,图2,连接CB,设。（4, ,f解得，奴4,b=-2二次函数的解析式为)，=丄「-2x+3：CD,由点C在线段B/)的垂直平分线CN上，得CB=CD.VC(0,3),由勾股定理可得：42+(m-3)2=62+32.解得zn=3±V29.满足条件的点£＞的坐标为(4,3+^29)或(4,3-^29):(3)如图3,设CQ交抛物线的对称轴于点M,y图3设点P(n.—n2-2/»+3)，则点。(-ln>-1«2-n+—)，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 2 8 2设直线CQ的解析式为y=kx+3,则丄卩-〃+旦=丄*+3,' 8 22解得大=丄1-2-―,于是CQ：y=(丄t-2-—)x+3,\o"CurrentDocument"4n ' 4n当x=4时，>'=4(丄7-2-—)+3=5-4n n:.M(4,n-5-12),ME=n-4-n n'<■'S^cqe=S^cem+S^qem=—x—n*/VfE=-l-x-^»,<n-4-AZ.)=12,\o"CurrentDocument"2 2 2 n.'./z2-4〃-60=0,解得"=10或”=-6,当n=10时，P(10,8),当n=-6时，P(-6,24).综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或(-6,24).(2023*2023—模)如图，抛物线y=a『+旦r+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点2坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,HC.求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；将△48C沿BC所在直线折叠，得到△DBC,点4的对应点£)是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点。的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；点P是抛物线图象上的一动点，当ZPCB=ZABC时，直接写出点P的坐标.a+y+c=Oc=-2解得：a=7,c=-2.•.抛物线的表达式为-2,设直线AC的表达式为y=kx+b,则（k+b=O,lb=-2解得：『=2,lb=-2:,直线AC的表达式为y=2x-2；（2）点/）不在抛物线的对称轴上，理由是：•.,抛物线的表达式为,=丄『+2,22:.点B坐标为（-4,0）.'：OA=\,OC=2,.0A=0C'"ocOB'又VZAOC=ZCOB=90°,:4AOCs4COB.:.ZACO=ZCBO.:.ZACO+ZBCO=ZOBC+ZBCO=90°,；.AC丄BC..•.将△ABC沿BC所在直线折叠，点O一定落在直线AC上，延长*C至O,使。C=AC,过点。作DEly轴交y轴于点E,如图1.

又VZACO=ZDCE,:qACg^DCE(MS).:.DE=AO=\,则点D横坐标为-1,•.•抛物线的对称轴为直线x=-旦.2故点D不在抛物线的对称轴上.(3)当点P在x轴下方时，如图2,,:ZPCB=ZABC,:.CP//AB,.•.点P的纵坐标为-2,令y=-2.得丄-2=-2>2 2解得：x=0(舍去)或*=-3,：.Pi(-3,-2):当点P在x轴上方时，如图2,设CP交x轴于点G,设G。，0),则OG=-t,BG=t+4,由勾股定理得：CG2=OG2+OC2=r+4,•；ZPCB=ZABC,:.BG=CG,即(/+4)2=?+4,解得：/=-旦，2:.G(-2,0),2设直线CG的解析式为'3则亍瑚，n=~2' 4解得：m-习，n=-2直线CG的解析式为y=-Ax-2,3联立方程组得｛广寸2y=fx2^-x-2

联立方程组得｛17'x]=0x2~~解得：19y】=-17'x]=0x2~~解得：19y】=-2一50ly2=T:.P2(_1750， ),综上所述，点P的坐标为（-3,-2）或（-XL,50）.3 9图1（2023,2023—模）如图，己知直线AB：y=kx+b与抛物线y=Atx2 -t相交于点A（a,—%）、3 3 3点B,点B在x轴上，且对于任意实数X,不等式丄七x^Ntx-t〉一■恒成立.3 3 3（1）求该抛物线及直线AB的解析式；（2） 点M为该抛物线上的一点，过点M作MN>x轴于点N,过点A作AHLx轴于点H,当以点M、N、B为顶点的三角形与相似，直接写出满足条件的全部点M的横坐标，并选取其中两神情况写出解答过程；（3） 试问，在抛物线y=-Ltx2^-tx-t上是否存在点Q,使得△QAB的面积等于△AOB的面积的23 3倍？如果存在，请直接写出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.【解答】解：（1）由题意可知，抛物线广丄tx2—\-,不等式§tx^^tx-t》•恒成立，...当x=1时，-&=-―,解得1=1>3 3抛物线的解析为：y=l.x2^-x-I.3x3当y=-―,则—-1=-A,解得x=\.即a=l.3 3 3 3令y=0,则—-1=0.解得x=-1或x=3；3*3:.B(3,0),将8(3,0),A(1,-4)代入y=kx+b,3'3k+b=01 4|k+b=-3fkJ-，解得｛K3.'3k+b=01 4|k+b=-3b=-2直线AB的解析式为：,，=2x-2.3(2)'：AHlx轴，:.H(1,0),BH=2.3设点材的横坐标为冶,则M则M(m9打奇-D'N6,0),MN=I丄m2_2jh-11,BN=]m-31，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3若ZXMNB与△AHB相似，则MN：BN=2：3或MN：BN=3：2,1|：\m-3|=3：2,.".|Am2 -1|：\m-1|：\m-3|=3：2,31,13\o"CurrentDocument"3 3 3 331,13解得心或,〃=-3或，”十ni=11~2综上，当以点心、8为顶点的三角形与△彻相似时，点M的横坐标刼或-3弓或号(3)存在，理由如下：如图，作点8关于点。的对称点E,.・.8£=208=6,•:EQ〃AB,直线EQ的解析式为：y=lx+2,3令2*+2=丄/卫「1,解得x=2+\fl3或x=2-J我.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3 3:.Q(2+713.A2.+2V15)或(2-V13-12-2}/13_)•\o"CurrentDocument"3 3 3 3作直线E。关于直线AB的对称直线E'Q',则直线E'Q'的解析式为：y=lx-6,令—X-6=-y^^-x-1»无解.\o"CurrentDocument"3 3 3综上，使得△Q/访的面积等于△AOB的面积的2倍的点。的坐标为(2+J3&,竺+纟反)或(2-\o"CurrentDocument"3 3

届12-2vn）.3 3三.四边形综合题（共2小題）8.（2023*2023—模）如图甲，在△*8C中.ZACB=90°.AC=4.BC=3.如果点?由点B出发沿&4方向向点A匀速运动.同时点。由点A出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为每秒钟1个单位长度.连接PQ，设运动时间为/秒钟（0</<4）.（1） 设△AP。的面积为S,当实数，为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2） 在（1）的前提下.当S取得最大值时.把此时的AAPO沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，AAPO与AABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；（3） 如图乙，连接PC,将八尸。。沿QC翻折，得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时，求实数/的值.1-»O C1-»O CA【解答】解：（1）如答图1,过点P作PHJ.ACTH,,.,ZC=90°,；.AC丄BC,:.PH//BC,:.4APHS厶ABC,PH=AP",BCAB*VAC=4cm,BC=3cm,；.AB=5cm,PH=5-t•,，；.PH=3-3,5的面积为：S=lxAQXPH=lxtX(3-3)= (Z-A)2+E,2 2 5 10 2 8当，为■!秒时，S最大值为剽224③如答图2,当2WxW4时，△A'P'C^AA'解得p，c=3(4-x),4则y=JL(4-x)XJ.(4-x)=旦(4-x)2,248号(g)综上所述，y=条+3号<x<2)②当3Wx<2时,⑵①当心争尸孕色+3.PQ,则盅-P'CPQ4-xP'C53tx42,即若(4-x)2(2<x<4)(3)如答图3,连接PP',PP'交QC于E,当四边形POP'C为菱形时，PE垂直平分0C,即PE1AC,QE=EC,.•.△APEs^ABC,•AE=APACAB*:.AE= AB--t=AP,AC=(5-t)X4=_%4:.AE= AB5QE=AE-AQ=-A/+4-t=-3+4,5=-丄+2,2qe=1qc=1-(4=-丄+2,22 2...-3+4=-丄+2,5 2解得：,=丝，13•.•0<竺<4,13当四边形PgC为菱形时，，的值是书(2023*2023一模)在矩形ABCD中，AB=\2,P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点E的对应点是点G,过点8作BE丄CG,垂足为E且在A。上，BE交PC于点、F.如图1,若点E是A。的中点，求证：AAEB^ADEC；如图2,当AD=25,且AE<DE时，求业的值：PC如图3,当BE・EF=108时，求8P的值.【解答】解：(1)在矩形A8CD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,•.•E是A。中点，:.AE=DE,在ZkAEB和△£>£(?中,rAB=DC<ZA=ZD=90°-AE=DE:qAEB#4DEC(SAS')；(2)'：BEA.CG,AZB£C=90°,:.ZAEB+ZCED=90a,VZAEB+ZAB£=90°,.IZCED=ZABC,VZA=ZD=90°,4ABEs△DEC,ABDE•,二■，AECD设AE=x,:.DE=25-x,.12一25-x••—= »x12Ax=9或4=16,*：AE<DE,AAE=9,DE=16,・・・CE=20,必=15,由折叠得，BC=CG=25,在矩形A8C£),匕A8C=90°,V4BPC沿PC折危得到△(；「(：，:.ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,•:BE1XG,:.BE//PG,.•.△ECFs/XGCP,EFCECF.• =S9PGCGPCCF20=4••PC255(3)如图，连接FG,'：BE//PG,:.ZGPF=ZPFB,:.ZBPF=ZBFP,・・・BP=BF；.:BP=PG,:.SBPGF是菱形，:・BP〃GF,...ZGFE=ZABE,.•.△GEPs&aB,EFAB•“=-，GFBE:.BE,EF=AB・GF,•..BE・EF=108,46=12,:.GF=9,:.BP=GF=9.四.圆的综合题(共5小题)(2023*2023校级一模)如图，AB是圆O的直径，弦CO与AB交于点H,ZBDC=ZCBE.求证：8E是圆。的切线；若CD丄AB,AC=2,BH=3,求劣孤BC的长；如图，若CD〃BE,作I)F〃BC,满足BC=2DF,连接FH、BF,求证：FH=BF.AA【解答】(I)证明：•.•AB是直径，AZACB=90°,.•.ZCAB+ZABC=90°,'：ZCAB=ZCDB,ZCDB=ZCBE,:.ZCBE=ZCAB....NC8E+ZA8C=90°,:.AB±BE,'：AB是直径，•.•BE是。O的切线；

(2)解：VCDXAfl,:.ZAHC=ZACB=9Q°,'：ZCAH=ZCAB,：4CAHs4BAC,.CA=AHABCA*:.CA1=AH'AB,设AH=x,则4=x(x+3),解得x=1或-4(-4舍去)，:.AH=A,AB=4,:.AC=2AH,:.ZACH=30°,:.ZCAH=60°,.•.ZBOC=2ZA=120°,.成的长=120・_・2=4m180 3(3)证明：如图，取8C的中点G,连接OG,GH,过点G作GM丄8£＞于点M,过点H作HK丄08于点K过点尸作FN丄BD于点N,作FT//BD交CD的延长线于点T.TArA,:DF〃CB,BC=2DF,CG=BG,:・DF=BG,.・・四边形DFBG是平行四边形，:・BF=DG,BF//DG,:.Z.GDM-ZFBN,.:ZGMD=ZFNB=9Q°,：・4GMD£4FNC(AAS),:・GM=FN,9：AB是直径，人8丄CD,:.DH=HC,DB=BC，・・・DB=DC,・・・ZBDC=ZBCD,.:CG=GM,:.HG〃DB,•.FK1.DB,GM丄DB,:.KH=GM=FN,.:匕HKJ=ZFNJ=9V,/KJH==NJF,:・4HKJm4FNJ(AAS),:・HJ=JF,*：FT//JD9:・DT=DH=CH,:.CD=HT,•:BF"CB,FT//BD,:.ZFDT=ZBCD,ZBDC=ZT,:.ZT=ZFDT,・.・FT=FD,・・・FT=CG,VZT=ZC,:•△DCGm/\HTF(SAS),:・DG=HF,:・HF=BF.（2023*2023校级一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD.匕8=90°,E是BC的中点，连接AC,AE,DE,£>E交AC于点F,且此时ZAED=90°・(1)求证：△ABEs/\ecD；求证：以BC为直径的。E与AO相切；对角线AC交。E于点G,AB=6,BC=8,求AF的长.【解答】(I)证明：•.FB〃CD,ZB=90°,AZDC£=180°-ZB=90°,:WDCE=ZB,'：ZAED=90°,:.ZDCE=90°-ZAEB=ZBAE,:.^ABEs4ECD；(2)证明：过E作EHLAD于H,延长£)£、AB交于G,如图:•..E是BC的中点，:.BE=CE,■:AB//CD,:.ZGBE=ZDCE,ZBGE=ZCDE,：.4BGE94CDE(A4S),：.GE=DE,'：ZAED=90°,.•.AE是DG的垂直平分线,.'.AD=AG,:.ZGAE=ZDAE,VZB=90°,EHA.AD,:.BE=HE,即EH是(DE的半径，.'.AD经过半径EH外端，且EH丄AD,...以BC为直径的0E与AD相切；(3)解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图:由(1)得左ABEs^ECD,・AB—BECECD•..A8=6,BC=8,BE=CE,.♦.cd=be，ce=旦，AB3：.D(8,A),3由A(0,6),C(8,0)可得直线AC解析式为y=-2x+6,由E(4,0),D(8,学由E(4,0),D(8,:.F(10424:.F(詩'，詩'17 帶广 帶广+(6专■*=13017（2023*2023-模）如图I,将矩形纸片ABCD沿直线AfN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C,D重合），折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上，连接MB,MP,BP,BP与MN相交于点F.求证：△BFNs^BCP；（2） ①在图2中，作出经过M,D,P三点的。。（要求保留作图痕迹，不写作法）；②随着点/，在C7）上运动，当①中的。。恰好与BM,BC同时相切，如图3,若AB=4,求DP的於.（3） 在②的条件下，点。是上的动点，则3Q的最小值为_寸应-5_ 2

图I【解答】（1）证明：..•将矩形纸片ABCD沿直线折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合,AZBFN=ZPFN=9Q°,..•四边形ABCD是矩形，:.匕C=90°=ZBFN,又ZFBN=/CBP,:.4BFNs4BCP；（2）解：①作出经过M,D,P三点的。。如下:②设。。与BC相切于K,连接OK,过P作PH1.OKT-H,如图:VZD=90°,...。在PM上，与相切,.,.ZBA/P=90°,:.ZDMP=9Qa-ZAMB=ZAHM,•..将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合,VZA=ZD=90°,.♦.△A&W丝△DWP(A4S),：.AB=DM=4,AM=DP,设AM=DP=x,则CP=4-x,

•••PM=VdM2+DP2=Vx2+16'I2:,OM=OK=0P="x+1，,2'：QO与BC相切，：.^OKC=90°=ZC=ZPHK,四边形HKCP是矩形，:.HK=CP=4-x,：.OH=OK-：.OH=OK-HK=x2+16.~2~VsinZDMP=sinVsinZDMP=sinNHPO,•DP=OH"PMOP,'：PM=2OP,:.DP=2OH,即x=2Nx?+16-4+x),2解得x=3,.♦.DP的长是3；(3)解：过。作ORLAD于R,连接Q4交。。于。，如图:由(2)知AM=DP=3,AB=DM=4,.,.A£>=7,PM=VDP2-H3M2=V32+42=5'：.QO半径为2•：O为PM中点，OR//CD,:.OR是的中位线，AOR=^DP=2.,DR=1j)M=2,2 2 2:.AR=AD-DR=5,2\/W9-52在RtAAO/?中，OA=^AR240R2=^52+(|.)22\/W9-52当Q为OA与0O交点时，AQ最小，此时AQ=OA-OQ=故答案为：^^-5.2(2023*2023校级一模)如图，在等边ZkABC中，M是边8C延长线上一点，连接AM交△A8C的外接圆于点O，延长8D至N,使得BN=AM,连接CMMN,猜想的形状，并证明你的结论：请你证明CN是。。的切线：若AD：A8=3：4,BN=8,求等边△ABC的面积.【解答】(1)解：△CMN的形状是等边三角形，理由:.•.△ABC是等边三角形，:.AC=BC,ZACB=60",VCD=CD>:.ZCAM=ZCBN.在△CAM和△CBN中，‘AC=BC<ZCAM=ZCBN>AM=BN.♦.△CAM竺△CBN(SAS),:.CM=CN,/AMC=ZBNC..•.△CMN是等腰三角形.•:ZNCM=/CBN+ZCNB,ZCAM=/CBN,:./NCM=ZCAM+ZCMA.ZACB=CAM+/CMA,:.ZNCM=ZACB=60a,:.4CMN的形状是等边三角形；(2)证明：连接CO并延长交A8于点E,如图,、DOf*、DOf*•..△ABC是等边三角形,:.AC=BC,NAC8=60°.AC=BC，:.CELAB,:.ZACE=Z8CE=LaCB=30°.2由（1）知：ZNCM=6O°,匕ACN=18O°-ZACB-ZNCM=",ZOCN=ZACE+ZACN=90°,OCJ-CN.OC为。O的半径,C7V是。。的切线;(3)解：.•.△A8C是等边三角形,AC=BC,NABC=ZACB=60°.匕ADB=/ACB=6O°,ZADB=ZABC.^BAD=^MAB,ABAD,AM=AB"AD：AB=3：4,AM=BN=8,AB3 二—,84AB=6.BC=AC=AB=6.连接C。并延长交AB于点E,如图,

:.CELAB,::.CELAB,:.AE^BE=1AB=3,:.AE=BE•.•CE=VBC2-BE2=3而，等边△48C的面积=丄xAB・CE=9而.(2023•2023-模)如图，已知点O是ZkABC的外接圆的圆心，AB=AC,点。是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E.求证：例平分ZCDE：判断直线AE与。。的位置关系，并证明；若DE=3,BD=6,AD=5,求AC的长.【解答】（D证明：..•A8=AC,.IZACB=ZABC,'：ZACB+ZADB=\S0°,.IZACB=ZADE.又ZCAB=ZCDB,:.ZEDA+ZADC+ZCDB=180°,ZADC=ZABC:.ZEDA=ZCDA:.DA平分ZCDE（2）解：相切，理由如下：如图，作OP丄8C,连接AO,BO,CO,•..△AB。竺△AC。，:.ZBAO=ZCAO,...AO为匕&4C的角平分线，...等腰三角形平分线和垂线重合，.•.A、。、P共线，,：EA//BC且匕APC=90°,:.ZEAO=90°,•.•OA是半径，:.AE与。O相切，(3)解:由(1)可知ZBAE=ZEBC=ZADE,又ZAEB=ZDEB,：.4AEDs4BEA,:.ED：EA=EA：BE,.♦.3：EA=EA：9,.'.AE=3"^3»\'AD：AB=AEtBE,:.AB=5g:.AC=AB=5\[3.五.相似三角形的判定与性质(共1小题)15.(2023*2023-模)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点(BE>DE),CE的延长线交AD于点F,连接AE.求证：当BE=3DE时，求tanZ1的值.【解答】（I）证明：在正方形ABCD中,,:AB=BC,ZABE=ZCBE=ZFDE=45°,在/XABE与△CBE中，‘AB=CB<ZABE=ZCBE>,BE=BE.♦.△ABE竺ZiCBE,.IZBAE=ZECB,'：AD//BC,:.ADFE=ZBCE,:./BAE=ZDFE,:.△ABEsWDE；（2）连接AC交BD于。,设正方形ABCD的边K为a,:.BD=yf2a,:.BD=yf2a,BO=OD=OC=9：BE=3DEt：.OE=tanZl=tanZOEC=匹=2.OE2023年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编・05解答题（中档题）一次函数的应用（共1小题）（2023*2023一模）2023年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买I个冰墩墩和3个雪容融需要420元.（1） 求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？（2） 该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为280元.若乙种车不超过3辆，设租用甲种车。辆，总租金为w元，求w与。的关系式，并求总租金的最低费用.反比例函数综合题（共1小题）（2023•2023-模）RtAABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=K以HO）X在第一象限内的图象与BC边交于点D（4,1）,与边交于点E（2,n）.（1） 求反比例函数的解析式和〃值；（2） 当匹史时，求直线A8的解析式.AC2三.二次函数综合题（共2小题）3.（2023•2023一模）如图，抛物线y=ar2~2ax~3a（«>0）与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与），轴交于点C,且OB=OC.（1） 求抛物线的解析式；（2） 如图，若点P是线段BC（不与B,C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于何点，连接CA/,当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3） 若点P是直线BC（不与8,C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM,将沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点F的坐标；

4.（2023•2023一模）如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A（-3,0）,B（5,-4）两点，与）轴交于点C,连接AB,AC,BC.（1） 求抛物线的解析式；（2） 求证：AB平分Z.CA.O.四.角平分线的性质（共1小题）5.（2023•2023一模）如图，AD是的角平分线，DE、OF分别是和企人。/）的高.（1） 求证：AO垂直平分EF：（2） 若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积S&iBC.五.四边形综合题（共1小题）6.（2023•2023校级一模）如图1,正方形ABCD中，E、F分别是边C。、AO上的点，ZEBF=45°.（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至得到』EBG=ZEBF=45°.请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系： （用等式表示）；若AB=2,E为CD边中点，求AF.（2）如图2,将正方形ABCD改为矩形，且恤=2,BC=3,其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AO上的点，ZEBF=45°.记CE+AF=x,试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；当BF丄EF时，求线段EF的长.六.切线的判定与性质（共2小题）7.（2023*2023校级一模）如图，△ABC中，AC=BC,以BC为直径的。O与底边AB交于点D,过D作。E丄AC,垂足为E.（1） 证明：DE为OO的切线；（2） 连接。&若siM=旦，△OEC的面积为6,求。。的半径.58.（2023*2023一模）如图，是0。的直径，A是8。延长线上的一点，点E在。。上，BCLAE,交AE的延长线于点C,BC交。。于点F,且E是市的中点.（1） 求证：AC是OO的切线：（2） 若AD=4,AE=4龙，求BC的长.

七.作图一基本作图(共1小题)9.(2023*2023—模)如图，在△ABC中，ZCAD为AABC的外角.尺规作图：作NCA。的平分线AE(保留作图痕迹可加黑，不写作法);若AB=AC,在(1)的条件下，求证：AE//BC.八.旋转的性质(共I小题)10.(2023*2023—模)如图1,正方形AOEF中，ZDAF=90°,点8、C分别在边A。、AF上，且AB=AC.如图2,当AABC绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)时，请判断线段BO与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB=2,AD=V3W2时，求ZCM的正弦值.九.相似三角形的判定与性质(共1小题)11.(2023•2023校级一模)如图1,在矩形ABCD中，AB=5,AO=8,点£:在边CD上，tanZBAE=2,点F是线改AE上一点，连接CF.

（1） 连接BF,请用尺规作图法作FGLAB,垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）.若求线段"的长.（2） 如图2,若CF=^BC,AE的延长线与8C的延长线交于点H,求的面积.4S:图I 图2一十.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12.（2023•2023校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°,在。处观察旗杆顶端C的俯角为30°,楼高BD为20米.求旗杆AC的高度.一十一.列表法与树状图法（共3小题）13.（2023-2023-模）2023年3月23H“天宫课堂”第二课正式开讲，神月十三号乘组航天员瞿志别、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为此组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了〃名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题:分组频数

分组频数TOC\o"1-5"\h\zA：60WxV70 aB：70<x<80 18C：80WxV90 24。：90WxW100 b（1） n的值为 ,a的值为 ,b的值为 .（2） 请补全频数分布直方图并计算肩形统计图中表示“C”的形圆心角的度数为 °.（3） 竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（xN80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.（2023-2023一模）新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动.为了了解初中生每日线上学习时长，（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调査，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.频数A:0</<1B:l<tA:0</<1B:l<t<2C.2<t<3D:3<t<4E:4<t<516010020%150 10020%504010050405012345”』、时根据图中信息，解答下列问题：（1） 在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？（2） 若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3WY4”范围的初中生共有多少名？（3） 每日线上学习时长恰好在“2WfV3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.（2023-2023一模）学校团委组织4名学生周末到社区参加志愿者活动，2名学生为一组.已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率.

广东省20232023年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）参考答案与试题解析一.一次函数的应用（共1小题）1.（2023•2023--模）2023年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买I个冰墩墩和3个雪容融需要420元.（1） 求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？（2） 该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为28。元.若乙种车不超过3辆，设租用甲种车。辆，总租金为”元，求w与。的关系式，并求总租金的最低费用.【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为），元，根据题意,得.j3x+2y=560x+3y=420解得'x=120解得'x=120y=100答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元;（2）设租用甲种车“辆，则租用乙种车（8-a）辆，总租金为w元,根据题意得：w=400"+28()(8-0)=12()"+2240,由题意得8-aW3,V120>0,随。的增大而增大，.•.当a=5时，w有最小值为2840,此时8-a=3,即当租用甲种车3辆，租用乙种车5辆，总租金最低，最低费用为2840元.答：w与a关系式为w=l20"+2240,最低费用为2840元.二.反比例函数综合题（共1小题）

2.(2023•2023一模)RtZXABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=K以=0)X在第一象限内的图象与边交于点D(4,1),与A8边交于点E(2,〃).求反比例函数的解析式和，，值；当匹=1时，求直线的解析式.AC2【解答】解：(1).:D(4,1)在反比例函数y=K的图象上,.•业=4X1=4,反比例函数的解析式为：y=£•••点E在反比例函数的图象上，将点E代入反比例函数解析式得:〃=豪2；〃=豪2；(2)如图，过点E作EHLBC于点、怪,/.ZBHE=90°,ZXABC是直角三角形,:WBHE=ZBCA,又,:ZB==B,:./\ABCs4EBH,•BHBC1EHAC2由(1)知E(2,2),C(4,0),:.EH=2,BH=1,：.B(4,3),设直线AB的解析式为y=kx+b,将B（4,3）,E（2,2）代入得：J4k+b=3,l2k+b=2，Jk卷b=l...直线AB的解析式为：y~x+l-三.二次函数综合题（共2小题）3.（2023•2023—模）如图，抛物线y=cu?'-2ax-3a（«>0）与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,与），轴交于点C,且。B=OC.（1） 求抛物线的解析式；（2） 如图，若点P是线段BC（不与B,C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM,当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3） 若点P是直线BC（不与B,C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM,将八尸。"沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；【解答】解：(1)在y=ax1-2ax-3a(a>0)+，令y=0,得：av2-lax-3a=0,解得：xi=3,x2=-1>「.A(-1,0),B(3,0),:.OB=3,'：OB=OC,.・.0C=3,AC(0,-3),-3a=-3,o=1>抛物线解析式为：y=/-2x-3；(2)设直线BC解析式为y=kx+b,,；B(3,0),C(0,-3),.j3k+b=0f解得：fk=l,Ib=-3 Ib=-3直线BC解析式为：y=x-3,设M点坐标为(.m, -2m-3),•「PM丄x轴，'.P(〃?，/n-3)»:.PM=m-3-(〃卩-2m-3)=-〃卩+3,〃,VOB=OC,ZBOC=90°,:.CB=^2OB,.'•CP=V2LA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，：.OB=OC,AC=J10,BC=3yf^,:.ZPBA=ZOCB=45°=ZMPC,若ZXPCM和ZiABC相似，分两种情况：当△CPMsQCBA,PCPMhiiV2m+3mTOC\o"1-5"\h\z•11n9l*|J t=-= ,BCAB3V2 4解得：〃［=§,3:.p(旦，-A)；\o"CurrentDocument"3 3当△CPM^^ABC,•PCPMHnV2m+3mABBC4 3扼解得：m=—,2:.P（旦，-1）；2 2综上所述，点p的坐标为（业，-4）或（旦，-旦）:3 3 2 2（3）设M点坐标为（,〃，nr-2m-3）,当点P在M的上方时，由（2）知PM=-〃F+3〃7,CP=42m,4PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上,:.ZPCM=ZNCM,•..PM〃y轴，:.ZNCM=ZPMC,:.ZPCM=ZPMC,:.PC=PM,.'.y[2m=-ni2+3/n»整理得：n?+（a/2~3）m=0>解得：mi=O（舍去），zn2=3-V2».•.当m=3-V2时，m-3=-血,."（3-扼，-扼）.当点P在M点下方时，PM=m2-3m,同理可得V2/n=w2-3m,解得〃71=0（舍去）,w2=3-h/2»

:.P(3+扼，扼)，综上所述，点P的坐标为(3-V2,-血)或(3+扼，血).4.(2023*2023-模)如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与)，轴交于点C，连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)求证：(2)求证：A8平分ZCAO.【解答】(【解答】(1)解：将A(-3,()),B(5,-4)代入得:9a-3b~4=025a+5b-4=-4解得:a*抛物线的解析式为)，解得:a*抛物线的解析式为)，=lx26(2)证明：由抛物线解析式y=LP-§x-4可知，点C(0,-4),

6 6\'A(-3,0),8(5,-4),••AC=寸3^+4?5,VC(0,-4),B(5,-4),轴，BC=5,:.ZBAD=ZABC,,:CA=CB,:.ZCAB=ZABC,:.ZCAB=ZBAD,:.AB平分ZCAO.四.角平分线的性质(共1小题)5.（2023•2023一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、W分别是和/XACZ）的高.（1） 求证：A£）垂直平分EF：（2） 若AB+AC=\0,DE=3,求ZvlBC的面积SMBC・【解答】（1）证明：...■。是△人BC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，:.DE=DF,在RtAAED与RlAAFD中,AD=ADfDE=DF'RtZXAED竺RtZsAPD（HL）,:.AE=AF,•:DE=DF,.•.A。垂直平分EF；（2）解：,:DE=DF,AB+AC=10,DE=3,...Sm8C=sAABD+SAACD=yAB-ED+yAC-DF=yDE（AB+AC）=yX3X10=15.五.四边形综合题（共1小题）6.（2023*2023校级一模）如图1,正方形ABCD中，E、F分别是边CD、A。上的点，ZEBF=45°.（1） 小聪同学通过将△8AF绕点B顺时针旋转90°至△8CG,得到ZEBG=ZEBF=45°.请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系：EF=EC+AF（用等式表示）；若AB=2,E为CD边中点，求AP.（2） 如图2,将正方形ABCD改为矩形，且AB=2,BC=3,其他条件不变，即：E、F分别是边C。、AD±.的点，ZEBF=45°.®iSEF=y,CE+AF=x,试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；④当BF丄EF时，求线段EF的长.【解答】解：(1)①由题意可知△BAF竺1BCG,:.BF=BG,AF=CG,BF=BG,•；ZEBG=ZEBF=45°,BE=BE,竺△BGE(SAS),:.EF=EG,,:EG=EC+CG=EC+AF,；.EF=EC+AF,故答案为：EF=EC+AF.②若点E为CD的中点，:.DE=EC=\,设AF=x,则CG=x,DF=2-x,由①可知，EF=l+x,在RtADEF中，ZD=90°,由勾股定理可得，(2")2+i2=(1+x)2,解得x=—,即AF=—.3 3(2)③将△A8F绕点8顺时针旋转90°至△P8M,延长交。C的延长线于点N,过点M作丄。N于点N,连接EM,由旋转可得，ZBPM=90°,BF=BM,BP=AB=2,ZABF=ZPBM,AZCPM=90°,PC=MH=1,•：ZBCN=90°,四边形PMNC是矩形，.・.PM=CH=AF,:.CE+CH=x,•:ZFBE=45°,；.ZABF+ZEBC=45°,即ZPBM+ZEBC=ZEBM=45°,,:BF=BF,ZFBE+ZEBM=45°,BE=BE,：.4BEF#4BEM(SAS),:.EM=BF=y,在中，由勾股定理可得，MH2+EH2=EM2,12+/=)2,即y=Vx?+1.④・；BF丄EF,.,.△BFE是等腰直角三角形，:.FB=FE,ZAFB+ZDFE=90°,VZAFB+ZABF=9Q°,:.ZABF=ZDFE,•/ZA=ZD=90°,AAABF^ADFE(AAS),:.DF=2,AF=DE=l,:.EF=0六.切线的判定与性质(共2小题)7.(2023*2023校级一模)如图，△ABC中，AC=BC,以BC为直径的0。与底边A8交于点D,过。作DE±AC,垂足为E.证明：DE为。。的切线；连接。E.若siM=3,ZXOEC的面积为6,求。。的半径.5

连接0D,图1'：AC=BC,连接0D,图1'：AC=BC,:./B=NA,'：OB=OD,:.ZB=』ODB,：./ODB=ZA,J.OD//AC,'：DELAC,：.0D丄DE,是半径，:.DE为。。的切线；DC,(2)解：如图2,连接。£>,...8C是。。的直径，AZBDC=ZADC=90°,:.ZCDE+ZADE=90°,'：DE1AC,.•.ZA+NA£>E=90°,:,ZA=ZCDE,sinA=—.5.•.sinNCDE=sinA=旦，5sinA=—,sinZCD£=—,AC CD.DCCE3**AC"CD"5*设CE=3x,则CD=5x,:.AC=^-x,£>£=VcD2-CE2=V(5x)2-(3x)2=4x,OD//AC,△OEC的面积为6,:.S^OEC=S^ced=6,•••§・CE・DE=6，即§・3x・4x=6,解得：x=l或-1(不符合题意，舍去)，:.AC=^-x=^-X1=葵，3 3 3.♦.8C=AC=竺，3•「BC是直径，..•。。的半径为詈.8.(2023•2023一模)如图，B。是。。的直径，A是BD延长线上的一点，点E在。。上，BCA.AE,交AE的延长线于点C,BC交于点、F,且E是击的中点.求证：AC是。。的切线；若AD=4,AE=4VL求的长.【解答】解：（1）证明：连接。E,是京的中点，二20BE=ZCBE.,:。E=OB,:.ZOEB=ZOBE.:.ZOEB=ZCBE.：.OE//BC.'.'BCA.AC,.•.ZC=90°.AZAEO=ZC=90°,:.DELAC.又•.•OE为半圆。的半径，.•.AC是OO的切线；（2）设。。的半径为x,VOE1.AC,AD=4,AE=4扼，.•.由勾股定理得：J+（4扼）2=（x+4）2解得：x=2.:.AB=AD+OD+OB=4+2+2=S.'JOE//BC,:.4A0Es/\ABC.AO=OE,,ABBC54+2.2•一 ,8BC.•.8C=旦.3七.作图一基本作图（共1小题）9.（2023*2023-模）如图，在/XABC中，匕CA。为△ABC的外角.（1） 尺规作图：作ZCAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）;（2） 若AB=AC,在（1）的条件下，求证：AE1/BC.(2)证明：'：AB=AC,：.ZB=ZC,:.ZDAC=ZB+ZC=2ZB,.「AE平分/DAC,:.ZDAC=2ZDAE,:.2B=ZDAE,:.AE平行BC.八.旋转的性质（共1小题）10.（2023-2023一模）如图1,正方形ADEF中，ZD4F=90°,点B、C分别在边AD、AF上，J&AB=AC.如图2,当绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)时，请判断线段BD与线段CF的位曽、数量关系，并说明理由：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB=2,AD=V3+V2时，求ZCM的正弦值.图1【解答】解：(1)BD=CF,BDA.CF,理由如下:延长交CF于G,交AF于H,如图：..•四边形AQEP是正方形，:.AF=AD,ZMD=90°,ZXABC绕点A逆时针