微积分学课件-22第22讲定概念

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十二讲定积分的概念脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中第五章一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.

熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.

了解利用建立递推关系式求积分的方法.

理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.

熟悉牛顿—莱布尼兹公式.

理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.

能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第一节定积分的概念第五章一元函数的积分二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质第五章一元函数的积分第一节定积分的概念和性质

在我国古代南北朝（公元429—500年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了π近似值.

在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。

阿基米德运用这种方法，求得抛物线与

x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值.

就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.

如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?一.曲边梯形的面积

曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积

首先，我们重复阿基米德的做法：

分划—代替—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法T第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第四步：取极限二.定积分的定义任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明定积分的几何意义由极限保号性：面积：定积分的几何意义喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理.

运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性质容易证明它们,所以我们在这里不进行证明.喂!定理1定理2定理3定理4定理5三.定积分的性质

由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.

在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证证由定积分定义及极限运算性质：可以推广至有限个可积函数的情形.证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和例1证//有什么结论？换成例2证

请同学们自己在下面做./

与性质3的推论1不同，这里的结论是严格不等号！证例3证所以例4证证

从证明的过程中，你是否发现性质6