《反比例观察与探究》案例

《反比例观察与探究》教学案例教学内容北师大版小学数学教材六年级下册第24～27页。教材分析本节课是在学生已经学习了正比例的意义的基础上进行教学的，主要运用知识的正迁移，让学生感受到学习方法的普遍适，用性，进而明确本课知识的学习步骤和方法，有利于调动学生学习的积极性。学情分析反比例关系是一种重要的数量关系，它渗透了初步的函数思想，又为以后学习中学数学的反比例函数奠定基础，所以是六年级数学教学的一个重点，这部分内容比较抽象、难懂，在教学过程中，尽量让学生参与知识建构的过程，以发挥学生学习的主动性。教学目标知识与技能1．结合丰富的实例，理解反比例的意义，能够正确判断两种量是不是成反比例。2．进一步认识事物之间的相互联系和发展变化规律。3．初步渗透函数思想。过程与方法使学生经历变化规律的发展过程，感受发现数学中的规律的乐趣。情感、态度与价值观培养学生初步的抽象、概括能力及善于观察、勤于思考、勇．于探索的良好习惯。重点难点重点：理解反比例的意义。难点：理解正、反比例的意义，能够正确判断成正、反比例的量。教具学具教具：教学图表一套学具：方格纸教学过程一、复习旧知，以旧引新师：正比例关系的意义是什么？怎样用字母表示这种关系？生1：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，但这两种量的比值却是一个固定的值。生2：用字母表示为y＝kx(k≠0，且k为一个常数)。师：判断两种相关联量成不成正比例的关键是什么？设计意图：通过复习旧知识，来引入新知识。生3：关键是看这两个变量的比值是不是一个确定的值。师：同学们小结得很好。请同学们看下面的题目，并判断一下成不成正比例关系？为什么？(1)时间一定，行驶的速度和路程。(2)数量一定，单价和总价。生4：(1)成正比例。因为：时间＝，说明路程和速度虽然在变化，但它们的比值却是一个定值。所以成正比例。生5：(2)成正比例。因为：数量＝。数量一定，说明总价和单价的比值是一个确定的值，所以它们成正比例。师：同学们能较熟练地掌握两种相关联的量成不成正比例的判定方法。那谁能说一说工作效率、工作时间和工作总量之间的数量关系。（学生回答后老师板书）在什么条件下，其中两种量成正比例？生6：工作效率＝。所以当工作效率一定时，工作总量和工作时间成正比例。生7：工作时间＝。所以当工作时间一定时，工作总量和工作效率也成正比例关系。师：两位同学回答得都很好，请同学们再思考一下这样一个问题：如果工作总量一定，工作效率和工作时间之间会怎样变化呢，变化又有什么规律呢？这两种量又成什么关系呢？这就是今天要学习的反比例关系。（板书课题）设计意图：数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，让学生亲历实际问题抽象成数学模型并解释应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观等方面得到进步和发展。二、教学新课活动一师：看教材24页加法和乘法表，分析两表中的两个变量之间的关系是否相同？可小组讨论一下。图（一）图（二）通过组合作，相互交流。师生共同得出以下结论：图（一）中和是12，和一定，一个加数随另一个加数的变化而变化；图（二）中积一定，一个乘数随另一个乘数的变化而变化，这两个变化关系不同。两个表中的直线和曲线直观地表示出两个变化关系的不同，曲线直观动态的体现了成反比例的过程。设计意图：让学生进行尝试操作，使学生从活动中发现数学问题，从而引入学习内容和学习目标。这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激发了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景并激发了积极的情感态度。活动二1．出示教材第25页第2题。让学生计算，在课本上填表，并观察思考能发现什么？指名口答，让学生按学习正比例的方法观察表里内容，相互之间讨论。指名学生口答讨论的结果，得出：(1)速度和时间是两种相关联的量，时间随着速度的变化而变化。(2)速度缩小，时间反而扩大，速度扩大，时间反而缩小。(3)可以看出它们的变化规律是：速度和时间的积总是一定的。因为速度和天数的积都是120。提问：这里的120是什么数量？谁能说出这里的数量关系式？想一想，这个式子表示的是什么意思？（把上面的板书补充：总路程一定时，速度和时间的积一定）设计意图：注重概念的形成过程，加强思维训练。在教学中，通过复习常见的数量关系，从生活事例中引出数量关系，然后给这种数量关系一种新的理解，将这种数量关系重新定义为成反比例关系。2．出示教材第25页第3题。请同学们按照刚才学习教材第25页第2题的方法，自学教材第25页第3题，仔细想想你发现了什么？学生观察思考后，指名学生口答从表里发现了什么，再提问：这两种相关联的量变化的规律是什么？这个式子表示什么意思？（把上面板书补充：总重量一定时，每杯重量和杯数的积一定）设计意图：给具备这种数量关系的数量重新定义为成反比例的量，沿着这条线索，学生由浅入深、由表及里的体验了概念形成的过程。活动三1．概括反比例的意义。(1)综合教材第25页第2题、教材第25页第3题的共同点。提问：请你比较一下教材第25页第2题和教材第25页第3题，说一说，这两个例题有什么共同的地方？(2)概括反比例意义。教材第25页第2题、教材第25页第3题中两种相关联的量，它们是什么关系的量呢？请同学们看第25页倒数第二节。说明：像教材第25页第2题、教材第25页第3题里这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这样两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。问：两种相关联的量成不成反比例的关键是什么？（乘积是不是一定）问：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么上面这种关系式可以怎样写呢？x×y＝k（一定）指出：这个式子表示两种相关联的量x和y，y随着x的变化而变化，它们的乘积k是一定的。这时就说x和y成反比例关系。所以，两种量成反比例关系，我们就用x×y＝k（一定）来表示。设计意图：学生理解概念以后要准确地表达出这个概念也是一个难点，因为这个概念叙述的语句比较长，因此给了充分的时间让学生说，一开始学生要沿着板书的线索表达出成反比例这个概念，到最后完全能自主准确地说出这个概念。2．具体认识：小组合作，探究问题。(1)教材第26页第3题里有哪两种相关联的量？这两种量成反比例关系吗？为什么？(2)两种相关联的量成不成反比例，关键要看什么？3．判断。现在回过来看开始写的关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，当工作总量一定时，工作效率和工作时间成什么关系？为什么？指出：根据上面所说的反比例的意义，要知道两个量成不成反比例关系，只要先看这两种量是不是相关联的量，再看两种量变化时乘积是不是一定即可。如果两种相关联的量变化时乘积一定，它们就是成反比例的量，相互之间的关系就是反比例关系。设计意图：利用概念能准确地判断两种量是否成反比例，从而达到理解并运用的程度。活动四用刚才我们说的判断方法来做几道题。1．做第26页“练一练”第1题。指名学生口答，说明理由。（可以写出数量关系式看一看）2．做“练一练”第2题。指名口答，说说理由。思考时可以引导学生看数量关系式。3．思考：判断两种量成不成反比例要怎样想？4．下面两种相关联的量成不成反比例？为什么？一根铁丝，剪成每段2米，可以剪成5段；如果剪成y段，平均每段x米。设计意图：关注学生的兴趣、经验和情感态度，以多种方式充分发挥学生的主体性。三、观察图像，发现问题教材第27页“观察与探究”。1．在方格纸上画出8个长方形。（每格代表1cm²）教师引导学生看清横轴、纵轴所表示的量，按要求把图补充完整。2．根据要求小组内解决问题。(1)以长是6个格，宽是4个格在格子纸上数出相应的格子，描出第五个长方形；以长是8个格，宽是3个格在格子纸上数出相应的格子，描出第六个长方形；以长是12个格，宽是2个格在格子纸上数出相应的格子，描出第七个长方形；以长是24个格，宽是1个格在格子纸上数出相应的格子，描出第八个长方形。(2)无论长方形的长和宽的大小如何变化，它们的积是一定的，即长方形的面积一定是24厘米²。(3)观察画完的八个长方形上的各点A、B、C、D、E、F、G、H，发现这几个点不在同一条直线上，连接这几个点所构成的图像是一条曲线。3．汇报小组活动结果。(1)答案如下图。(2)当面积一定时，长方形相邻的两条边长成反比例。(3)图中的点A，B，C，D……这几点不在同一条直线上。师生共同小结两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条曲线。设计意图：在教师精心的组织、引导下，学生通过自主学习、合作探究、猜想归纳，建构了新的知识结构，提高了各种能力，发展了积极的情感和学习态度。四、课堂小结这节课学习的是什么内容？反比例关系的意义是什么？用怎样的式子表示x和y这两种相关联的量成反比例？判断两种量是不是成反比例，关键是看什么？板书设计反比例观察与探究两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这样的两种相关联的量就叫做反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。反比例观察与探究两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这样的两种相关联的量就叫做反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。x×y＝k（一定）教案点评反比例关系是一种重要的数量关系，它渗透了初步的函数思想，是六年级数学教学的一个重点。但由于这部分内容比较抽象、难懂，历来都是学生怕学、教师怕教的内容。怎样化解这一教学难点，使学生有效地理解和掌握这一重点内容呢？本课的教学中教师大胆做了一些尝试。一、创设情景，激发求知欲望教师从身边的现实生活中发掘素材，组织活动，让学生从活动中发现数学问题，从而引入学习内容和学习目标。这就激