热点(二)三角函数与平面向量的综合应用

热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用考点考情分析三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体重点考查三角函数的条件求值,即考查诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等三角恒等变换,在知识的交汇点处命题三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算、平面向量的数量积为基础,引入三角函数,通过三角恒等变换重点考查三角函数的周期性、单调性、最值及取值范围等,在知识的交汇点处命题平面向量在三角形计算中的应用结合平面向量的线性运算、数量积,在三角形中重点考查正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换.题型有求边、求角、求三角形的面积等,在知识的交汇点处命题考点1三角函数的求值与平面向量的综合【典例1】(2014·岳阳模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直，其中

(1)求cos

θ,sinθ的值.(2)若求cos

φ的值.【解题视点】(1)由向量a与b互相垂直列关于sinθ,cosθ的方程，解方程即可.(2)承接(1)的结论，利用两角差的余弦公式解答.【规范解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.又sin2θ+cos2θ=1，所以4cos2θ+cos2θ=1，即因为所以(2)由得即所以sinφ=cosφ.因为所以【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.【变式训练】(2014·太原模拟)已知向量b=(cosx,-1).(1)若(a+b)⊥(a-b)，求cos2x的值.(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),a+b=a-b=所以(a+b)·(a-b)=即(2)因为a∥b,所以即所以cos2x-sin2x=【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值.(2)求|b+c|的最大值.(3)若tanαtanβ=16,求证：a∥b.【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂直，所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.(2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),所以|b+c|=所以当sin2β=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为(3)因为tanαtanβ=16,所以即sinαsinβ=16cosαcosβ,所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ,即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线，所以a∥b.考点2三角函数的性质与平面向量的综合【典例2】(2014·烟台模拟)已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ)，其中0＜φ＜π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点(1)求φ的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在上的最大值和最小值.【解题视点】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式，由函数f(x)的图象过定点确定φ的值，并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【规范解答】(1)因为a·b=cos

φcos

x+sin

φsinx=cos(φ-x),b·c=cos

xsin

φ-sinxcos

φ=sin(φ-x).所以f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),所以而0＜φ＜π,所以所以由得即f(x)的单调增区间为(2)由(1)得，f(x)=平移后的函数为于是当所以即当时，g(x)取得最小值当时，g(x)取得最大值1.【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题.(2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式.(3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.【变式训练】（2014·荆门模拟）已知向量a=(sinx，cos(π-x))，b=(2cosx，2cosx)，函数f(x)=a·b+1.（1）求的值.（2）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x值.【解析】（1）因为f(x)=a·b+1=2sinxcos

x+cos(π-x)·2cosx+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x，所以=-1.（2）由(1)得，f(x)=sin2x-cos2x=因为x∈所以所以当即x=时，f(x)的最大值是；当即x=0时，f(x)的最小值是-1.【加固训练】(2014·保定模拟)已知O为坐标原点，

(1)求y=f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)的定义域为值域为［2,5］，求m的值.【解析】(1)由得y=f(x)的单调递增区间为(2)当所以所以1+m≤f(x)≤4+m,考点3平面向量在三角形计算中的应用【典例3】(2014·兰州模拟)已知△ABC的面积是30，三内角A，B，C所对边长分别为a,b,c,(1)求

(2)若c-b=1,求a的值.【解题视点】(1)由可求得sinA的值，根据△ABC的面积可求得bc的值，利用平面向量数量积公式求的值.(2)由边的关系及余弦定理求a的值.【规范解答】(1)由得(2)因为c-b=1,bc=156,所以a2=b2+c2-2bccosA即a=5.【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法(1)利用平面向量数量积的计算公式，把问题转化为三角形中的计算问题，在三角形中，结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积公式进行相关计算.(2)先在三角形中利用相关公式进行计算，再按要求求向量的数量积、夹角、模等.提醒：解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向，从而弄错向量的夹角.【变式训练】（2014·福州模拟）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC=(3a-c)cosB.（1）求cosB.（2）若求边a，c的值.【解析】（1）由正弦定理和bcosC=(3a-c)cosB，得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB，化简，得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin(B+C)=3sinAcosB，故sinA=3sinAcosB.所以cosB=（2）因为所以所以即ac=12.①又因为cosB=整理得，a2+c2=40.②联立①②解得或【加固训练】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,