行列式的定义

线性代数安徽工业大学数理学院应用数学系ALGEBRA线性代数是研究自然现象数量关系规律的学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.目前,不仅高等学校很多专业都要设这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学好的重要课程.

《线性代数》前言

教材

《线性代数》主要教学参考书

范爱华编

中科大出版社国内有关经典教材1.《线性代数》

同济大学著高等教育出版社

1999年版2.《线性代数》解国瑞著高等教育出版社1998年版国外有关经典著作1.《LinearAlgebra》P.-S.拉普拉斯著

2001年版线性代数理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.尤其是计算机日益普及的今天,求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题.例如:1.国民经济投入产出理论2.提高产品质量——数学在微观经济学中的应用本学科的应用3.信息处理线性代数的学习方法因人而异在学习中注意以下几个环节

1.课前预习(3节)2.认真听讲3.复习巩固本学科的学习基本方法

4.作业5.答疑6.融会贯通第1.1节行列式的定义

线性代数二阶、三阶行列式定义及计算

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解.为便于记忆，引进记号称记号为二阶行列式.其中，数称为元素为行标，表明元素位于第行为列标，表明元素位于第列注:(1)二阶行列式算出来是一个数。(2)记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.因此，上述二元线性方程组的解可表示为综上，令则，称D为方程组的系数行列式。例1：解方程组解：因为所以2.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组引进记号称之为三阶行列式.其中，数称为元素为行标，为列标。(2)对角线法则注意

:

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明:

1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例：

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组:可以验证，方程组有唯一解，其中，例2:解:方程左端解得由例3:

解线性方程组解:由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:1、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有1.2全排列及其逆序数2、全排列及其逆序数问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1

求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.三、n阶行列式的定义由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinantofordern)行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于已经

出现在十八世纪著作中的行列式的．把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的.（两个竖条线是Cayley（凯莱）在１８４１年引进的）．n阶行列式的定义1：定义

由n阶阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即:

称为元素的余子式,称为元素的代数余子式.n阶行列式的定义定义1.1注：上式归纳地定义了任意n阶行列式的值.注意:在n阶行列式展开式中(1)共有n!项;(2)每项由来自不同行不同列的n个元素相乘而得到;(3)展开式中正负号各一半，即各n!/2项;(4)与定义1比较例4:

计算上三角行列式(uppertriangulardeterminant)分析这是一个n阶行列式，但它的第一列除所以利用定义展开时只有一项不为零，于是解:都是零，例5:定理1.1

设D是n阶行列式，则对任意

同理可得下三角行列式(lowert