机械有限元分析ansys

2023/1/311第三章一维单元2023/1/312线性单元平面单元立体单元总体、局部和自然坐标数值积分：高斯－勒让德多项式ANSYS实例2023/1/3133.1一维单元形函数 形函数在有限元分析中,扮演非常主要的角色.除作为元素(单元)的内插函数,将元素内的位移或温度分布,以节点位移或节点温度表示外,在余量法中的迦辽金法中,亦可作为加权函数来用.此外,亦可将分布载荷转换为集中力与弯矩,分别施加在各节点上.

形函数根据其多项式的幂次,分为一次、二次、三次与高次等。2023/1/314位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。2023/1/315一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以线性变化。假设位移函数沿x轴线性变化，位移函数u＝u(x)可写成: u=a1+a2x向量形式:

假设在i、j节点的位移值分别为ui和uj,有:u=ui

在X=Xi处

u=uj

在X=Xj处2023/1/316将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量：求解未知量a1和a2得到：2023/1/317由节点的值表示的单元的位移分布为：改写一下形式得到：定义形函数：其中l为单元长度。2023/1/318由形函数表示的单元的位移分布为：写成矩阵形式：可以使用形函数和相应的节点值来表示给定单元上的任意的未知量的变化。2023/1/319形函数的性质在相应的节点上值为1,而在相邻节点上值为0.

和

和2.形函数的和为1。2023/1/3110形函数对于x导数的和为02023/1/3111实例（a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示：2023/1/3112（b）悬臂梁在X=8cm处的温度由单元（3）来表示：对于这个例子，注意和的区别。2023/1/3113假设承受的是轴向负荷,应用线性单元,柱体的垂直位移由下式确定.AB2023/1/3114（a）应用总体坐标Y，点A的位移由单元（1）表示：（b）点B的位移由单元（4）表示：2023/1/31153.2一维三节点单元一维三节点单元 用二次函数代替线性函数要求使用三个节点来定义一个单元,这是因为至少要有三个点才能确定一个二次函数.第三个点可以取在单元的中点.

2023/1/3116如单元的温度分布可以表示 为:并且节点的值为: T=Ti

在X=Xi处

T=Tk

在X=Xk处

T=Tj在X=Xj处2023/1/3117产生的三个方程和三个未知量:求解c1，c2和c3，整理后得到由节点的值和形函数表示的单元温度分布：将以上表达式写成矩阵形式为：2023/1/3118这里形函数为：一般来说，对于给定单元，由节点的值表示的参数变化可以写为：2023/1/3119对于给定单元节点的位移变化:在形函数的性质中,二次形函数关于X的导数之和不为零.2023/1/31203.3一维四节点单元

在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：2023/1/31212023/1/3122并且节点的值为：在处在处在处在处由节点的值和形函数表示的单元温度分布：写成矩阵的形式为：2023/1/3123形函数为:2023/1/3124当插值函数的阶数增加时,可以用拉格朗日插值代替以上的方法来得到形函数:对于三次插值函数,每个节点相关的形函数可以用三个函数的乘积表示.函数的乘积在给定的节点上为1,而在其他节点上为0.如考虑节点i:2023/1/3125若将X=XjX=XkX=Xm代入方程,函数Si的值为零.当在给定节点上计算形函数时,即X=Xi时,函数的值为1:2023/1/3126由节点值表示的三次插值函数任意参数ψ的变化可以表示为:三次形函数性质:形函数在相应节点上值为1,而在另一个相邻节点上值为0;如果对形函数求和,结果为1;对三次形函数的求导将得到二次的结果.2023/1/31273.4整体、局部和自然坐标

在有限元建模中，可以使用几个参考系。整体坐标用来表示每个节点的位置和每个单元的方向，并用来施加边界条件和负荷。另一方面，需要使用局部和自然坐标系，以简化计算。对于一维单元，整体坐标X和局部坐标x的关系为：2023/1/3128

在一维一次形函数的表达式中带入由局部坐标x表示的X有：2023/1/31293.4.1一维线性自然坐标

自然坐标是局部坐标的无量纲形式。使用自然坐标容易在上限1和下限－1之间积分。令：这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。2023/1/3130

通过将由表示的x带入形函数的表达式能够得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性形函数相同的性质。2023/1/31313.4.2一维自然二次和三次形函数将带入形函数的表达式得到二次自然形函数为：2023/1/3132

一维三次自然形函数为：2023/1/31333.5数值积分：高斯-勒让德多项式

高斯-勒让得积分是用来计算不等距离点上的已知函数的积分。高斯-勒让得公式的主要目标是用特定权系数的乘积之和以及一些选定点上的函数表示积分。由以下积分：引入变量，将积分的范围从a到b改变为从-1到1。使得：得到极限为：2023/1/3134求解c0和c1有：因此且所以将I表示为从-1到1的积分为：2023/1/3135两点高斯－勒让德公式要求确定两个权因子和两个样本点。应用勒让德多项式创建四个方程如下：2023/1/3136由以上方程组得到：解得：2023/1/3137利用高斯－勒让德两点采样公式计算积分把x换为。得