高三一轮复习北师大版55数列的综合应用

5.5数列的综合应用

考点考纲解读1运用数列的概念、公式、

性质解决简单的实际问题以数列知识为载体考查数

学建模和运用数列知识解

决实际问题的能力.

数列的综合应用问题既能考查潜能,又具有较强的区分度,创新应用问题选材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式相关联,还可与三角、几何、复数等知识相结合,题目新颖,难度较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高.

在复习中要重视紧扣等差、等比数列的性质和定义,做到合理地分析,灵巧地选择公式或性质,找到解决问题的突破口与思路。

本节内容在高考中主要考查等差、等比的综合问题,递推与求和的综合,数列与其他知识的综合,数列实际应用.数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解是对基础和能力的双重检验,而三者的证明题是近几年来高考热点.一般情况下,本节内容无论是选择题、填空题还是解答题中都是以中档题与难题为主,难度较大.要点梳理1．等比数列与等差数列比较要点梳理要点梳理

(A)最大值15.

(B)最小值15.(C)最大值16.

(D)最小值16.1.(2011年房山区期末)已知数列{an}的通项公式an=log2

(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的自然数n有

(

)∴n的最小值为16.【答案】D【解析】由已知,Sn=log2

+log2

+log2

+…+log2

=log2

,∴log2

<-4,解得n>15且n∈N*,2.(2011年范水高中高三数学期末考试)某工厂的产量第二年比第一

年增长的百分率是p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,若p1+p2=m

(定值),则年平均增长的百分率的最大值是

.【解析】设年平均增长的百分率为p,可知(1+p)2=(1+p1)(1+p2)≤(

)2,∴1+p≤

=1+

,∴p≤

,∴p的百分率的最大值是

.【答案】

3.(2011年石景山一模理14)函数y=x2(x>0)的图象在点(an,

)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n∈N*,若a1=16,则a3+a5=

,数列

{an}的通项公式为

.∵a1=16,∴a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,∴a3+a5=5.【解析】由导数的几何意义可知,k=2x

=2an,所以切线方程为y=2anx-

,∴切线与x轴交点的横坐标0=2anan+1-

,可得an+1=

an.∵an+1=

an,【答案】5

25-n

∴{an}是以16为首项,

为公比的等比数列.∴an=16·(

)n-1=25-n.4.某单位用3.2万元买了一台工作设备,已知该设备从启用的第一天

起连续使用,第n天的维修保养费为

元(n∈N*),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为

止,一共使用了

(

)(A)600天.

(B)800天.

(C)1000天.

(D)1200天.【答案】B【解析】由第n天的维修保养费为

元(n∈N*),可以得出整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为

=

+ +,当且仅当

=

时取得最小值,此时n=800.考点一等差数列与等比数列的综合题 例1

(2011年浙江卷)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),设数列的前n项和为Sn,且

,

,

成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式及Sn;(2)记An=

+

+

+…+

,Bn=

+

+

+…+

,当n≥2时,试比较An与Bn的大小.【分析】(1)抓住数列中的项的两重身份,由等比中项求出等差数列

的公差,从而求出其通项公式与前n项和Sn.(2)由(1)求出

的通项公式,利用裂项相消法求An,利用公式法求Bn,利用二项式定理判断An与Bn的大小.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由(

)2=

·

,得(a1+d)2=a1(a1+3d).因为d≠0,所以d=a1,所以an=na1,Sn=

.(2).由（1）因为

=

(

-

),所以An=

+

+

+…+

=

(1-

).因为

=2n-1a1,所以Bn=

+

+

+…+

=·

= (1-).当n≥2时,2n=

+

+

+…+

>n+1,即1-

<1-,所以当a>0时,An<Bn;当a<0时,An>Bn.【点评】等差数列、等比数列是两种特殊数列,在处理等差数列与

等比数列的综合题时,要注意灵活运用它们的定义、性质,对于等比

数列还要注意对公比的讨论.变式训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,

a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项,…,第2n项,…,按

原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达

式.(2)由已知得,bn=

=2×2n+1=2n+1+1,∴Tn=b1+b2+…+bn=(22+23+…+2n+1)+n=

+n=2n+2-4+n.【解析】(1)依题意得

解得

∴an=a1+(n-1)d=3+2×(n-1)=2n+1,即an=2n+1.

例2

(2011年湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年

初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上

年初的75%.考点二数列在实际问题中的应用(1)求第n年初M的价值an的表达式;(2)设An=

,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.【分析】分析理解题意,与等差、等比数列的定义相联系,注意分类

讨论求数列的和,借助数列的单调性求范围.【解析】(1)当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列.an=120-10(n-1)=130-10n,当n≥6时,数列{an}是以a6为首项,公比为

的等比数列,又a6=70,所以an=70×(

)n-6.因此,第n年初,M的价值an的表达式an=

An=

,(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70×

×4×[1-(

)n-6]=780-210×(

)n-6因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,又A8=

=82

>80,A9=

=76

<80,所以须在第9年初对M更新.【点评】在实际问题中,常出现等差数列或等比数列模型,利用所学

到的等差、等比数列的知识便可使问题顺利解决.数列是特殊的函

数,从而常与函数的特性联系起来.变式训练2某油库已储油料a吨,按计划正式运营后的第一年进油

量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%,

且每年运出b吨.设an为正式运营后第n年的储油量.(1)写出an的表达式;(不要求证明)(2)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于

a吨,如果b=

a,该油库能否长期按计划运营?如果可以,请加以证明;如果不行,请说明

理由.(取lg2=0.30,lg3=0.48)【解析】(1)依题意,油库原有储油量为a吨,则a1=

a-b,a2=

a1-b=(

)2a-(

+1)b,a3=

a2-b=(

)3a-[(

)2+

+1]b.猜想:an=(

)na-[(

)n-1+(

)n-2+…+

+1]b=(

)na-4[(

)n-1]b(n∈N*).(2)当b=

a时,该油库第n年年底储油量不少于

a吨,即(

)na-4[(

)n-1]·

a≥

a,即(

)n≤3,n≤lo

3=

=

=

=4.8.所以不能长期运营.考点三数列与函数、不等式的综合应用例3证明(1)(2)解解析：(1)4解析：（2）方法一2

1.等差、等比数列是