高斯投影及其计算

第六章高斯投影及其计算江苏师范大学测绘学院

应用大地测量学

第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学一、地图投影及其变形1.地图投影就是将椭球面上的各元素（包括坐标、方向和长度）按照一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。所谓数学法则就是下面的两个方程式：

x=F1（B、L）

y=F2（B、L）可见地图投影问题就是建立椭球面大地坐标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学垂直投影一、地图投影及其变形第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学中心投影圆柱投影第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学2.投影变形角度变形、长度变形和面积变形三种。等角、等距、等积投影3.投影长度比与长度变形投影长度比——投影面上无限小线段ds与椭球面上该线段实际长度dS之比，以m表示

就一般地图投影而言，长度比是一个变量，它不仅与点位有关，而且也随该点上线段方向的不同而不同。也就是说，不同点上的长度比不同，同一个点上不同方向的长度比也不相同。长度比与1之差，称为投影长度相对变形，简称长度变形

当m-1>0时，投影后长度将增加；当m-1<0时，投影后长度将缩短。4.主方向、变形椭圆与变形指标若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍然保持正交，则称这两个方向为主方向。主方向还有另外一个性质，即它们投影后具有最大和最小长度比。即长度比极值所在的方向为主方向。第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学变形椭圆第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。若ab=1，则为等面积投影。椭球面上微分圆：投影平面上对应为微分椭圆：变形椭圆第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学5.地图投影的分类按投影变形的性质：等角投影、等面积投影、等距离投影；按投影面：平面投影、圆柱面投影、圆锥面投影；按投影面的中心轴向：正轴投影、横轴投影、斜轴投影等角投影（正形投影）——投影后角度不变，保持小范围内图形相似，

a=b。等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。

ab=1等距离投影——保持某一方向上的投影变形为0.如a=1或b=1第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学投影，然后将圆锥面展开成平面。圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午线上相切，按数字投影，然后将圆柱面展开。正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学二、正形投影特性两个基本要求：1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。2、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范围内成立。所以，正形投影的特性是：投影长度比m仅与点的位置有关，而与方向无关。第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学三、正形投影的一般条件第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学引入符号：等量纬度相当于于是有代入第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学令则有第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学于是长度比的通用公式即为此式由图可知即于是第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学要使上式中的m与A脱离关系，必须满足：从椭球面到平面投影的柯西-黎曼条件第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学其推证步骤为：1、从长度比表达式出发，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式；2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数；3、对x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；4、根据长度比m与方向A无关，得F=0，E=G；5、由E=G、F=0得主要条件。第一节地图投影概念和正形投影性质

应用大地测量学四、正形投影一般公式根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。证明：(6-13)第一节地图投影概念和正形投影性质由得第一节地图投影概念和正形投影性质将（6-13）代入上式求得将式中的实部与虚部分开得：该式就是从椭球面到平面的柯西黎曼方程，所以下式为正形投影的一般公式，使用该公式可以导出高斯投影正反算公式。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学一、高斯投影的基本概念

第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学高斯投影的条件（1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；（2）中央子午线投影后是一条直线；（3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学二、高斯投影的长度比和长度变形前面已经导出了从椭球面到高斯平面投影的长度比公式为：在满足F=0，E=G时，或因为我们总是将x和y展开为l的幂级数，因此用后面的式子比较方便，为此将后面的式子写成：第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学在后面的内容中我们会推出：第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学将上式对l求偏导数，得：将上式代入长度比公式中，得：上式就是用大地坐标表示的长度比计算公式。但是该公式不实用，下面推导用平面坐标表示的长度比计算公式。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学取其主项代入到长度比公式中，得因为所以或第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学y/（km）1020304050100150200250300长度变形m-11/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/90020°30°40°50°501002003003501.0000311.0001241.0004941.0011121.0015141.0000311.0001231.0004931.0111001.0000311.0001231.0004921.0000311.0001231.000491By/km第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学三、高斯投影的分带为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。

第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学三、高斯投影的分带

6°带带号N和中央子午线经度LN的关系式：

LN=6N-33°带带号n和中央子午线经度Ln的关系式：

Ln=3n6°带与3°带带号之间的关系为第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学四、高斯投影计算内容计算高斯平面坐标的两种方法：1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高斯平面坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）

2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学四、高斯投影计算内容第二种方法的具体推算内容如下（以下图的三角网为例）:四、高斯投影计算内容1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；

T12=A12-γ+δ12

式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：

D12=S12+△S式中△S为距离改正。4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学一、高斯投影的坐标正算公式因为l是个小量，可将上式展开为l的幂级数式中的m、n是待定系数，是等量纬度q的函数确定待定系数分三步进行：第一步：引入正形投影的柯西黎曼条件，导出待定系数方程第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学若使上式成立，l的同次幂的系数必须相等，于是有下面的待定系数方程：

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算第二步：引入中央子午线投影后为纵坐标轴的条件

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算简化为第三步：引入中央子午线投影后长度不变的条件第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学即得正算公式投影方程高斯投影必须满足以下三个条件：第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学x的主项是X，y的主项是lNcosB（1）x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；（2）x轴上的长度投影保持不变；（3）正形投影条件第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学二、高斯投影的坐标反算公式投影方程必须满足的条件由第一个条件可知B是y的偶函数，l是y的奇函数，因此第三个条件是柯西-黎曼条件，为由此可写出：第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学让对应的项分别相等得显然，问题的关键是求：根据（2）x轴上的长度投影保持不变；即当时，有：为x=X对应的纬度，叫做底点纬度因此顾及第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学最后可以求得代入到上面的公式中，经整理得反算公式于是：则有：第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学高斯投影的坐标反算公式的几何解释第三节高斯投影坐标计算

应用大地测量学第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学一、平面子午线收敛角的计算1、由大地坐标计算平面子午线收敛角γ

应用大地测量学第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面子午线收敛角为奇函数，以东时为正，以西时为负随l的增大而增大当l相同时，随B的增大而增大，在极点处达到最大，在赤道上为0第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角γ第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学二、方向改正计算第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。P是球面图形的面积适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式，上式的计算精度为0.1″。第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学考虑到正负号更精确的计算公式是04812162024283236401002003000.00.00.01.02.03.02.04.16.13.06.19.14.08.112.25.110.115.26.112.218.27.114.221.38.116.224.39.118.327.410.120.330.4第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学概略数值可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽视第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

应用大地测量学三、距离改正计算距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去项，对于三四等边长的归算又可再略去项。第五节高斯投影坐标换带计算

应用大地测量学以下情况需要进行坐标换带计算：（1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带内。（2）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。（3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要求采用3°带、1.5°带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带与3°带（或1.5°带、任意带）之间的相互坐标换算问题。第五节高斯投影坐标换带计算

应用大地测量学同一坐标系统不同投影带之间的坐标换算6°带坐标→相邻6°带坐标；6°带坐标→3°带坐标；3°带坐标→相邻3°带坐标；6°带或3°带坐标→任意带坐标；第五节高斯投影坐标换带计算

应用大地测量学计算程序如下：首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1,y1），按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（B,L）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度L0，计算该点在新投影带内的经差l，再按高斯投影坐标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2,y2）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。以具体实例进行讲解

第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念

等角正圆柱投影荷兰制图学家编制海图等角正割圆柱投影赤道上的长度比最小两极的长度比最大等角航线：各点的大地方位角均相同，投影后为直线第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念UniversalTransverseMercatorProjection（UTM投影）横轴等角割椭圆柱投影，割线距中央子午线1.4°与高斯投影类似，只是中央子午线投影长度比为0.9996投影后两条割线上没有变形它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系由美国军事测绘局1938年提出，1945年开始采用第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念坐标正算公式长度比公式子午线收敛角公式0°1.5°3°60°50°40°30°20°0（0.00040）0（0.00040）0（0.00040）0（0.00040）0（0.00040）0.00009（-0.00031）0.00014（-0.00026）0.00020（-0.00020）0.00026（-0.00014）0.00030（-0.00010）0.00034（-0.00006）0.00057（+0.00017）0.00081（+0.00041）0.00103（+0.00063）0.00122（+0.00081）第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学高斯投影与UTM投影的长度变形比较表Bl一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介

应用大地测量学兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面的一条纬线(纬度)相切，按照正形投影的一般条件和兰勃脱投影的特殊条件