数电第2章逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述要理解并记住的几个概念逻辑二值逻辑逻辑运算逻辑代数逻辑变量事物间的因果关系在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，他们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，这种运算称为逻辑运算。进行逻辑运算的数学方法--布尔代数，布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（GeorgeBoole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。在一种逻辑关系中，当输入变量的取值确定后，输出的取值也随之确定，因此输入与输出之间是一种函数关系，逻辑函数数字系统中输入与输出之间的逻辑关系都可以用一个逻辑函数来描述。2.2逻辑代数中的三种基本运算1与运算（AND）与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。称为与逻辑式，这种运算称为与运算用图2.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。设开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示；

灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（逻辑赋值），

则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系

，称为真值表若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为2或运算或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可”或逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为3.非逻辑运算条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为

也可写成非逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现与非逻辑运算的门电路称为与非门4.与非（NAND）逻辑运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：多变量与非门？复合逻辑5.或非（NOR）运算

或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为：或非运算用或非门电路来实现，如图2.2.8所示复合逻辑

与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为：上式说明：当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时，输出Y才等于0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。在工程应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其真值表见书P22表2.2.6所示，逻辑符号如图2.2.9所示6.与或非运算其门电路的逻辑符号如图2.2.10所示其布尔表达式（逻辑函数式）为7.异或运算符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异或门电路来实现其真值表如表2.2.6所示异或运算的性质

1.交换律：2.结合律：3.分配律：推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为“0”；若有奇数个变量取“1”时，则函数为“1”.4.8.同或运算：其布尔表达式为符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0”。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表2.2.7所示其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律a.交换律：AB=BAA+B=B+Ab.结合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出用真值表证明公式的正确性例1：分配律的证明在ABC的所有取值情况下，等式左与等式右相等，故等式成立。a.互补律：b.重叠律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理例2：摩根定理的证明在AB的所有取值情况下，等式左与等式右相等，故等式成立。方法：列出输入的所有取值情况，算出对应的等式左、右的值填入表中，验证等式左、右相等，则等式得证。2.3.2若干常用公式表2.3.2常用公式说明：A＋AB＝A在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；A＋AB＝A＋B

在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；AB＋AB

＝A在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；A（A＋B）＝A在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC

在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；

AB＋AC＋BCD＝AB＋ACA（AB）＝AB

如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；A

（AB）＝A

当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项;以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础2.4逻辑代数的基本定理代入定理反演定理对偶定理2.4.1代入定理内容：任何一个含有变量A

的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，现将所有出现A的地方都代入函数G＝A十D，则证明等式仍成立

证明：方程的左边有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右边有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC证明：设G＝BC代入公式左右的B中同理设G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况可得故：可得内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的

“.”互换“+”,常量“0”互换“1”，所有原变量（不带非号）互变反变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数）Y。2.反演定理注意：变换中必须保持原来的运算（先与后或的）顺序；2.对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变；应用：利用反演定律，可以求一个逻辑函数的反函数。解：方法1由反演定理方法2直接求反，利用摩根定理整理成与或式。例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋C

D，求Y

解：方法1反演定理例2.4.4若Y＝[（AB）＋C＋D]+C，求反函数方法2直接求反3.对偶定理对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“·”，“.”换成与“+”，“1”换成与“0”，“0”换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式YD

称为Y的对偶式。如：对偶定理：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等，Viceversa。例试利用对偶规则证明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立证明：设Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，则它们的对偶式为由于故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

利用对偶式可以证明一些常用公式证明：设则它们的对偶式为由于故Y＝G，即例试利用对偶规则证明吸收律A＋AB＝A＋B式子成立A,B,C

…称为输入逻辑变量，取值只能是“0”或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值也只能是“0”或是“1”2.5.1逻辑函数在一种逻辑关系中，当输入变量的取值确定后，输出的取值也随之确定，因此输入与输出之间是一种函数关系，记作：任何一件具体事物的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述例：举重裁判电路中，A为主裁判开关，B、C为副裁判开关，Y为指示灯。电路功能：当主裁判开关闭合，同时至少有一名副裁判开关闭合，指示灯才会亮。CBA若以1表示开关闭合，0表示开关断开；1表示灯亮，0表示灯不亮，则A,B,C的不同取值，对应Y的不同取值。即Y是ABC的函数，Y=F(A,B,C)=A(B＋

C)一、逻辑真值表2.5.2逻辑函数的几种表示方法

逻辑函数的表示方法很多，常用的有：

真值表，逻辑式，逻辑图，卡诺图

逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，将输入所有的取值情况及其对应的输出取值情况，全部列表表示。举重裁判电路的真值表YBA011101110000输出输入注意：①全面完整列出②按序列出ABCY00000010010001101000101111011111如表异或逻辑关系的函数二、逻辑函数式三、逻辑图法

把逻辑函数的输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式，就叫做逻辑函数式BC中至少有一个闭合，可表示为：B+C同时还要求A闭合，可表示为：A(B+C)故：Y=A(B+C)≥1BCA&Y将逻辑函数式中的与或非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，就可以画出逻辑图四波形图法:

一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课程中介绍。五、各种表示方法间的相互转换真值表与逻辑函数式的相互转换例：已知真值表如下，求逻辑式ABCY00000010010001111000101111011110此表表明，只要满足下列三种情况之一，则Y=1A=0，B=1，C=1A=1，B=0，C=1A=1，B=1，C=0故：只要上述三个乘积项有一个为1，则Y=1总结：真值表转换逻辑式的方法---将输出为1对应的乘积项（最小项）相或。（1）由真值表写出逻辑函数式解：①找出真值表中使逻辑函数为“1”的输入变量的组合；②对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为“1”的写成原变量，输入变量取值为“0”的写成反变量，如AB

C③将这些乘积项相加，即得到输出的逻辑式ABCY00000010010001101000101111011111输入输出ABCY10

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1输出Y20

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1练习：已知真值表如表所示，试写出输出的逻辑函数（2）由逻辑函数式写出真值表将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得出输出的值，并以表的形式表示出来。例写出逻辑函数Y＝AB＋AB

+C的真值表解：确定输入变量及个数，将输入变量的所有组合有序列出，将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式中，得出相应的输出值输入输出ABCY0

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02.逻辑函数式与逻辑图的相互转换（1）由逻辑函数式画出逻辑图用逻辑符号（门电路）代替逻辑函数中的逻辑运算符，即可得到所求的逻辑图。例画出逻辑函数的逻辑电路解：其实现电路如图所示ABCABC（2）由逻辑图写出逻辑函数式将运算符号转换成图形符号例已知逻辑电路如图,试写出输出端的逻辑函数式解：输出的逻辑式为方法：将图形符号转换成运算符号3.波形图与真值表的相互转换（1）由波形图得到真值表根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值例2.5.7已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，求真值表。YBA111001010100输出输入表2.5.7练习已知图所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试由波形得出真值表输入输出ABCY0

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1表2.5.8（2）由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。例已知逻辑函数的真值表如表所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。输入输出ABCY0

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0题2.3题2.7题2.82.5.3逻辑函数的两种标准型任一逻辑式都可以写成标准形式最小项之和（标准与或式）

最大项之积（标准或与式）。1.最小项一、最小项和最大项定义:在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。例：A、B、C三个变量的最小项共有8个：最小项的个数：n个变量的最小项共有2n个。最小项的编号：注意顺序例A、B、C的最小项m5是ABC，B、A、C的最小项m5是BACA、B两个变量的最小项共有4个A、B、C、D四个变量的最小项共有16个练习最小项的性质①对于任一个最小项，仅有一组变量取值使它的值为“1”，而其它取值均使它为“0”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最小项的值为“1”。②n变量组成的全体最小项之逻辑和为“1”。即③任意两个最小项的乘积为0④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一个因子例：卡诺图化简的根据2.最大项定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。例：A、B、C三个变量的最大项共有8个：最大项的个数：n个变量的最大项也有2n个。最大项的编号：二变量的最大项，四变量最大项？最大项的性质：①在输入变量的任何取值下，必有一个最大项而且只有一个最大项的值为0②任意两个最大项之和为1③全体最大项之积为0④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和例：二、逻辑函数的标准与或式型－最小项之和标准型如与或型特点：1.式子为乘积之和的形式；2.不一定包含所有的最小项，但每一项必须为最小项标准与或式的写法：方法：

在n变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项，使之成为最小项，即利用公式A＋A＝1将逻辑函数Y＝A＋BC写成标准与或式注意：变量的排列顺序。三、逻辑函数的标准或与式型－最大项之积标准型如与或型特点：1.式子为和之积的形式；2.逻辑函数不一定包含所有的最大项，但每一项必须为最大项标准或与式的写法：在n变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项，即利用公式AA＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之称为最大项。例2.5.11将逻辑函数Y＝AC＋BC写成或与式解：四、最小项与最大项的关系设有三变量A、B、C的最小项，如m5＝ABC，对其求反得由此可知：对于n变量中任意一对最小项

mi

和最大项Mi，都是互补的，即设：(全体最小项之和为1)五、标准与或式和或与式之间的关系若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反函数可以用i个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号与最小项编号相同。例上式或写成因为所以在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为2n；任意逻辑函数变换为两种标准形式：与或式（最小项之和）或与式（最大项之积）逻辑函数的标准或与型为则逻辑函数的标准与或型为例

例：试用添加项方法将下面逻辑函数转化成标准与或式为例：试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与标准式解:公式A＋A＝1及A·A＝0A＝A＋BB＝（A＋B）（A＋B）练习:将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其反函数解：标准与或式为标准或与式为反函数为2.5.4逻辑函数形式的变换除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非门实现，就需要将其变成与非－与非式。一、与或式化为与非－与非式三、将与或式化为或非－或非式二、将与非式化为与或非式例将下式Y=AC+BC用与非门实现，并画出逻辑图。解：用二次求反，将第一级非号用摩根定理拆开，第二级保持不变。－－利用反演定理一、与或式化为与非－与非式如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，如果只有原变量输入，另外要用与非门实现反相C，二、将与非式化为与或非式例将Y=AC+BC用与或非门实现，画出逻辑图。

方法：先用反演定理求函数Y的反函数Y

，并整理成与或式，再将左边的反号移到等式右边，即两边同时求反。多余项三、将与或式化为或非－或非式

方法1：先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求Y

，并用摩根定理展开，再求Y，就可得到或非－或非式。例将下式Y=AC+BC

用或非门实现。方法2：

先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演定理得到或非式题2.10（1）（6）题2.11(4)

题2.12(2)题2.13(2)（3）

题2.15(5)（9）2.6逻辑函数的化简方法一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化。注：随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。逻辑函数是否“最简”已无太大意义。但作为设计思路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是不能忽视的逻辑函数的简化方法很多,主要:逻辑代数简化法（公式法）

卡诺图法逻辑函数的最简形式化简的必要性：用的器件少例：用2个非门，2个与门，1个或门用1个或门化简得：逻辑式的几种形式与或式：与非与非式：与或非式：与－或式是最常用的一种，本节的化简即针对与或式。化简的标准：乘积项最少，乘积项中的因子最少。由与－或式可得到其它形式的函数式。但将最简与或式转换为其它形式的函数式时，所得结果不一定是最简的。与或式→与非与非式

例1：与或式→与或非式方法：两次求反，用摩根定理。方法：先将与或式化为最小项之和的形式，再利用例2：常用的公式法化简1.并项法利用进行合项。2.吸收法利用,将AB项消去。例：例：3.消项法利用，消去BC项。4.消因子法利用，消去因子。例：例：在化简过程中应灵活、交替地运用上述方法。公式法化简的缺点：①需要经验和技巧，没有固定的步骤可循。

②难以判断是否是最简。5.配项法例1：例2：利用A+A=A，A+A=1进行配项，以便消去更多的因子。练习将下式化为最简与或式配项ABC解法一：配项法解法二：用吸收法和消去法二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，使化简过程简单2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法1卡诺图的引入观察真值表：3，4行相邻，1，5行相邻，对应的最小小项可合并化简问题：能否将逻辑相邻性，与几何相邻邻性结合起来？卡诺图就是使逻辑相邻项在几何位置上也相邻的一种图形例：三变量卡诺图ABC可以看出相邻的两个格都具有逻辑相邻性ABC0100011110卡诺图即变形的真值表，它的特点是逻辑相邻项也具有几何相邻性例：四变量卡诺图ABCDABCD0001111000011110m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m102、卡诺图的特点相邻两格具有逻辑相邻性。顶行和底行、左列和右列具有逻辑相邻性。对称于中心轴的两行或两列具有逻辑相邻性。3、卡诺图表示逻辑函数既然卡诺图是真值表的变形，则卡诺图肯定可以表示逻辑函数。n变量的卡诺图可由n－1变量的卡诺图采用折叠法构成,如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到，二.逻辑函数的卡诺图表示法由真值表到卡诺图：将逻辑函数的真值表做出，将表中对应“1”项的最小项填到卡诺图中。真值表是卡诺图变形。例2.6.5画出下面函数的卡诺图输入输出ABCY0

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1表2.6.5例画出下面逻辑函数的卡诺图解：化为标准与或型将逻辑函数化成标准与或型（最小项和），在相应的最小项位置填“1”，ABCD0001111000011110(3)观察法采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中例用卡诺图表示下面的逻辑函数解：其卡诺图如表所示AA11111111练习画出下列函数的卡诺图解:Y的卡诺图如表所示1111111111练习画出下列函数的卡诺图解:Y的卡诺图如表所示111111111练习：画出下列函数的卡诺图三、利用卡诺图简化逻辑函数①卡诺图的性质a.卡诺图上任何2（21)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去1个取值不同的变量消去变量Db.卡诺图上任何4（22)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量例如表2.6.11中，有消去变量ACc.卡诺图上任何8（23)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去3个取值不同的变量消去变量ABC②

、卡诺图化简法的步骤1.将函数式化为最小项之和的形式。（可省略）2.填卡诺图。3.找出可以合并的相邻项，用矩形框圈出。

①将相邻的为长方形或矩形的1格圈出，圈的格数必须为2、4、8…即2n。②圈的个数应最少，保证乘积项最少。③每个圈的格数应最多，保证乘积项中的因子最少。圈大圈④可以重复圈，但每一个新圈中至少有一个新项，不能漏圈。4.合并最小项。

每个圈对应一个合并项（乘积项），将所有的合并项相或。注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。例1：01111101ABC0100011110解：1.填卡诺图2.画圈3.合并ABC010001111001111101圈法2：该例说明结果不唯一例2：解：1.填卡诺图2.画圈3.合并AB0001111000011110CDAB0001111000011110CD(因全体最小项之和为1，故一部分最小项之和为Y，则其余部分之和为Y)画0圈，求YAB0001111000011110CD不好的圈法练习用卡诺图将下面逻辑函数简化成最简与或式解：其卡诺图如表所示对于与或式，圈“1”，则111111111练习将下面逻辑函数化成最简与或式。解：卡诺图如表所示圈“1”化成最简与或式，则可得00111001010001001111000100010011000000001111100*2.6.3奎恩－麦克拉斯基化简法（Q－M法）（自学）2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1约束项、任意项和逻辑函数中的无关项1.约束项在有些逻辑函数中，输入变量的取值受到某种约束例：A、B、C表示一台电动机的正转、反转、停止命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。显然该例中不允许两个以上的变量同时为1即不允许出现000、011、101、110、111的取值情况，所以说输入变量的取值受到约束约束条件的描述ABC不可能为111，可表示为ABC=0。ABC不可能为110，可表示为ABC=0。…这些恒等于0的最小项称为约束项约束项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值下，对电路的功能没影响，函数值是1还是0皆可。例如8421BCD码取值为0000~1001十个状态，而1