数值分析4.1 引言及Langrage插值法

第4章插值法4.1引言4.2Lagrange插值4.3Newton插值4.4Hermite插值4.5分段多项式插值4.6三次样条插值问题的提出

在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即4.1引言

这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)这种求P(x)的方法称为插值法。使4.1.1插值问题

设y=f(x)是区间[a,b]

上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi的值

yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)

(4-1)这就是多项式插值问题.4.1引言其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,...,n)称为插值节点,(xi,yi)(i=0,1,…,n)称为插值点,[a,b]称为插值区间,式(4-1)称为插值条件。

从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).即

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。

本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计等。定理1

设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件

Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(4-2)则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组4.1.2插值多项式的存在性和唯一性此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（4-3）由克莱姆法则知方程组(4-3)的解存在唯一.证毕。

考虑最简单、最基本的插值问题.求n次插值多项式li(x)(i=0,1,…,n),使其满足插值条件4.2.1基函数可知,除xi点外,其余都是li(x)的零点,故可设4.2Lagrange(拉格朗日)插值其中A为常数,由li(xi)=1可得称之为拉格朗日基函数,都是n次多项式。

n=1时的一次基函数为:y1O

xy1Ox如果已知函数

f(x)在点x0和x1点的函数值

y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数L(x)=a0+a1x使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.或用直线的两点式表示为：插值基函数的特点：

x0x1l010l1011x0x1l0l1记n=2时的二次基函数为:可知其满足4.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数li(x),构造次数不超过n的多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得

特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.注意:对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;

以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质(2)插值基函数li(x)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,

与被插函数f(x)无关;这是因为若取(x)=xk

(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,就得到所以例1

已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。

基函数分别为:解插值多项式为()例2

求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:则拉格朗日的三次插值多项式为

截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。

定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x∈[a,b],有4.2.3插值余项且与x有关)证由插值条件和n+1(x)

的定义,当x=xk

时,式子显然成立,并且有n+1(xk)=0(

k=0,1,…,n),这表明x0

,

x1,

…,xn

都是函数Rn(x)的零点,从而Rn(x)可表示为其中K(x)是待定函数。

对于任意固定的x[a,b],xxk

,构造自变量t的辅助函数

由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0

,

x1,

,xn

和x是(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使

即所以估计误差式：的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为因为故于是用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4

给定函数表x10111213lnx