第二章第五节曲线和曲面

5.1曲线

第五节曲线和曲面一、曲线的形成曲线可以看做是点运动的轨迹。平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。二、曲线的投影1.平面曲线的投影

与平面曲线对投影面的相对位置有关。

图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。（1）圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形（成为同样大小的圆）。（2）圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影不反映实形（变为椭圆）。（3）圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线（其长度等于直径）。二、曲线的投影[例题]：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知圆心O的投影及直径D的长度。分析：所给平面P垂直于V面，对H面倾斜成α角，所以P面内的圆，在V面上的投影积聚成一直线并重合在Pv上，长度等于D；在H面上投影变形成为椭圆。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于V面的直径的投影，长度等于直径D；短轴是该平面内的最大斜度线PVoabdcc’a’(o’、b’)d’作图步骤1.过o’在Pv上截取o’c’=o’d’=D/2，得c’d’，即为所作圆周的正面投影2.再过o作铅垂线，并截取oa=ob=D/2，得长轴ab；3.过o作水平线与过c’和d’向下引的铅垂联系线相交，得短轴cd；4.最后用“四心圆法”作椭圆，即为所求圆周的水平投影D/2D/22.空间曲线的投影

在任何情况下都不会有直线，而是曲线，不能反映实际形状。HAⅠⅡⅢⅣⅤBa12345b二、曲线的投影

无论平面曲线或空间曲线，若直线和曲线相切，则此直线的投影仍旧与该曲线的同面投影相切。二、曲线的投影

绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。二、曲线的投影5.2曲面

第五节曲线和曲面1、曲面的形成母线导线导线素线S定点形成曲面的动线（直线或曲线）称为母线。直线或曲线连续运动形成曲面母线在曲面上的每一个位置称为素线母线柱面锥面控制母线运动规律的线、面，称为导线、导面直线L沿着曲线M移动，移动过程中直线L始终平行于Y轴。其中运动的直线L即是母线，母线在移动过程中的任意称为素线。图中曲线M即是导线。

2、曲面的分类按母线的形状分类直线面曲线面由直线运动而成的曲面，如柱面、锥面等。由曲线运动而成的曲面，如球面、圆弧旋转面等。圆柱面直母线绕与之平行的导线旋转而成圆锥面直母线绕与之相交的直导线旋转而成交点即为定点圆柱面、圆锥面均为直线面S母线绕一定轴作旋转运动所形成的曲面叫做。固定的直线叫做回转轴。母线和轴是确定回转面的要素。一、曲面的形成和表示法按母线的运动形式分类回转曲面母线按一定规律运动，但并非回转非回转曲面回转曲面5.3回转曲面的投影

第五节曲线和曲面一、圆柱XZY圆柱的三面投影图HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”1、圆柱的投影

圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。

如图所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面和侧面投影重合为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示。

一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圆柱的投影圆柱投影图的绘制：

（1）先绘出圆柱的对称线、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线在圆柱表面上取点已知圆柱表面上的点A,B,M及N的正面投影a’、b’、m′和n′，求它们的其余两投影。2、圆柱表面上取点a’a”ab’(b”)b二、圆锥体XZY图3-11圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)1、圆锥的投影

圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。

如图所示，圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线。

对于圆锥面，要分别画出正面和侧面转向轮廓线正面转向轮廓线侧面转向轮廓线圆锥投影图的绘制：s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)

（1）先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。(3)作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圆锥表面上取点在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。方法一：素线法

过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M

已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。

过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。1’11”mm”a’(b’)图3-14圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’

求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。

求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：辅助圆法

过M点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m′且平行于a′b′的直线2′3′，它们的水平投影为一直径等于2′3′的圆，m在圆周上，由此求出m及m″。mMm’m”m’圆锥的投影及表面上的点s’ss”a’ab’bc”d”mm”

以s为中心，以sm为半径画圆，

已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m’和m”。

作出辅助圆的正面投影2’3’。232’3’

求出m’及m”的投影。mmmnn()n()

已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。

e′

e

(e″)s′a′b′abf′f三、圆球球的表面是球面。球面是一条园母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。1、圆球的形成

球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。2、球的投影

已知M点的水平投影，求出其它两个投影。121’m’m”

过m作平行于V面的正平圆12。

求正平圆的正面投影。

在辅助正平圆上求出m’和m”。o’o”o球的投影及表面上的点mR3、球面上取点n’nn"5.4几种常用的非回转曲面

第五节曲线和曲面一、柱面1．柱面：直母线沿曲导线移动，并始终平行于另一导线时，所形成的曲面叫做柱面。

图示柱面的导线是一个水平圆。母线的方向平行于图中给出的正平线L的方向，柱面的各素线是互相平行的。由于母线为定长，所以此柱面的上底也是一个水平圆。一、柱面

柱面在建筑工程中，有着广泛的应用。下图表示了一个用柱面构成的完体建筑。二、锥面锥面。一直线沿着一曲线活动，并始终通过一固定的点，所形成的曲面叫做锥面。

图示锥面的导线是一个水平圆。锥顶就是那个固定的点，可见锥面各素线是相交于一点的。如果把锥顶移到无阻远处，则锥面就转化成柱面；可见

柱面是锥面的特殊情况。二、锥面

锥面在建筑工程中，也有着广泛的应用。右图表示了一个用锥面构成的完体建筑。三、双曲抛物面

一直母线沿着两条交叉直导线移动，并始终平行于导平面时，形成的曲面称为双曲抛物。

以交错二直线AB和CD为导线，以AD直线(或BC直线)为母线，平面P为导面(AD∥P)，即可形成双曲抛物面。双曲抛物面也象单叶回转双曲面那样，有两族素线，而且第一族的每条素线必同第二族的所有素线相交，而同一族的任何两条素线必定交错。画法：（1）首先画出母线、导线和导面的投影；（2）画出曲面曲正面投影和侧面投影的轮廓线；PHQHdcabm四、锥状面一直母线沿着不在同一平面上的直导线和一条曲导线移动，并始终平行于一导平面，形成

的曲面叫做锥状面。

图示的锥状面，直导线AB垂直于正立面，曲导线为一个水平圆，而导平面为正平面。表现在投影图上，所有素线的水平投影均平行于OX轴，而正面投影集中于一点a’(b’)。直导线曲导线母线四、锥状面四、锥状面

下图是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上的素线都平行于山墙。五、柱状面一直导线沿着不在同一平面上的两条曲导线移动，并始终平行于一导平面，这样形成的曲面叫做柱状面。

图示的柱状面，母线是AD，曲导线是ABC和DEF，导平面是铅垂面P。柱状面的所有素线AD、BE、CF······都平行于导平面P，所以各素线的水平投影ad、be、cf······都平行于PH。曲导线导平面母线五、柱状面

右图所示的是柱状面应用于拱门上的实例。可以看出：导线应为拱口曲线(一为半圆，为半椭圆)，导面应为水平面。5.5螺旋线和螺旋面

第五节曲线和曲面一、螺旋线

一动点沿着一圆柱的母线作等速运动，而母线同时又绕圆柱的轴线作等速旋转，则该动点运动的轨做圆柱螺旋线。此圆柱叫做导圆柱。圆柱螺旋线分右旋和左旋两种：右旋：动点上升时，母线对轴线作反时针方向旋转；左旋：动点上升时，母线对轴线作顺时针方向旋转。一、螺旋线

母线旋转一周时，动点沿母线移动的距离叫做螺距。螺距h和导圆柱的半径R是确定螺旋线的两个参数。给出这两个参数的大小，再根据螺旋线的方向(譬如是右螺旋)，就可以做出螺旋线的投影。Rh螺旋线投影（1）用半径R作出导圆柱的投影；作法：（2）把导圆柱的底圆周(在水平投影上)和螺距h(在正面投影上)分成同样多的等份(如12等份)；（3）在水平投影上用数字沿螺旋线方向顺次标出各分点0、1、······12；（4）从0、1、······12向上作铅垂联系线，得各分点的正面投影；（5）用曲线圆滑的连接0’、l’、2’·····12’各点，得一正弦曲线该曲线就是所作螺旋线的正面投影。0678910111212