数字信号处理07 第七章 有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法

第七章

FIR滤波器的设计崔琳莉IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多主要内容线性相位FIR滤波器的特点窗函数设计法频率抽样设计法IIR与FIR比较7.1引言一、FIR滤波器的主要特点：单位冲激响应只有有限多项可以设计成线性相位系统只在零点处有极点，因此系统总是稳定的便于DSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）二、FIR与IIR相比较：首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。三、线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时间t幅度原始信号时间t幅度相移90o时间t幅度相移180o2、系统非线性相移造成输出信号失真f1f2f时延f1f2f时延f1f2f()f1f2f()系统相位特性决定了信号不同频率的时延3、忽略相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT变换输出波形4、要求线性相位的例子通信系统：调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。理想微分器：……线性相位要求：5、线性相位的FIR滤波器设计基础----系统的群延迟7.2线性相位FIR滤波器特点

FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点

一．线性相位特点命题：设FIR单位冲激响应h(n)为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：则：线性相位分析证明：1、偶对称时：即：所以有：线性相位分析则为线性相位。其物理意义：该FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延。线性相位分析2．奇对称时即所以有：线性相位分析或则 为线性相位线性相位分析物理意义：FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延，且信号通过此类FIR时，所有频率成份都有900相移，称为正交变换。二．幅度特点1、h(n)偶对称，N为奇数对（1）式由于:得:线性相位滤波器的幅度特点由于得其中:由于对是偶对称的。因此，对为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点其中，2、h(n)偶对称，N为偶数对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，项即为0，则由于时，且对呈奇对称。因此，对呈奇对称。并有:线性相位滤波器的幅度特点代入(2)式3、h(n)奇对称，N为奇数所以有：其中,线性相位滤波器的幅度特点由于在均为0并对这些点呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点其中：对（2）式4、h(n)奇对称，N为偶数线性相位滤波器的幅度特点由于在处为0。因此，对呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点总结：（1）第1，2种一般为低通特性；第3，4种一般为高通、带通特性。（2）当N，h(n)均为偶（或奇）时，H(w)为奇对称。 当N，h(n)为一奇一偶时，H(w)为偶对称。四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器例1如果系统的单位脉冲响应为0≤n≤4其他n显然，这是第一种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为该系统的振幅、相位和群延迟示于图1中。因为h(n)的长度N=5，群延迟也是整数，τ(ω)=(N-1)/2=2。例1系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟例2系统的单位脉冲响应为0≤n≤5其他n

h(n)为偶对称且长度N=6，因此，这是第二种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为该系统的振幅、相位和群延迟示于图2中。例2系统的频率响应(a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟例3系统的单位脉冲响应为h(n)=δ(n)-δ(n-2)

h(n)为奇对称且长度N=3，因此，这是第三种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为该系统的振幅、相位和群延迟示于图6-6中。例3系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟例4系统的单位脉冲响应为h(n)=δ(n)-δ(n-1)

h(n)为奇对称且长度N=2，这是第四种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为该系统的振幅、相位和群延迟示于图4中。例4系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟三、零点特性

线性相位FIR传递函数满足

则的零点必为互为倒数的共轭对（以单位圆对称）证：为实序列，若存在使得。则必存在使得（由(A)式可知）。由于是实序列，对也必定是的零点，即类似地，因此线性相位FIR

中，若有复零点，则一定有与之对应。线性相位FIR滤波器的零点位置图三、零点特性讨论：第1，2，3，4类FIR的零点的特点。如：第1类没有确定零点；第2类在时确定有零点； 第3类在均有零点； 第4类在为零点。-1j-j1iz*iz1)(-*iz1-iz7.3窗函数设计法一、设计方法又称傅里叶级数设计法理想滤波器的频率响应设计思路是：逼近方法（时域上）：但由此得到的冲击响应一般无限长且非因果（如理想低通），故需要使用加窗方法进行截取。——窗函数设计法的由来二、窗函数的概念及加窗时域过程理想低通滤波器：1、加窗过程的时域实现hd(n)是中心点在a的偶对称无限长非因果序列加窗截断,取矩形窗：按照线性相位滤波器的约束，h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半，即（N-1)/2所以有：窗函数的概念及加窗时域过程α=(N-1)/2(N-1)nα=(N-1)/2(N-1)n物理意义：(1)截断hd(n)RN(n)=h(n)

可认为是：hd(n)与“窗口”函数RN(n)相乘，称为“矩形窗”。(2)推广：h(n)

=

hd(n)w(n)

…（1）称w(n)为窗函数，一般取值n:[0:N-1]。

“加窗”意味着对hd(n)加权。2、加窗的频率解释加窗在时域上是对信号“切断”，通过一个“窗口”得到一段信号hd(n)。那么这种逼近的效果如何？对理想频响的影响如何？设：由DTFT的频域卷积定理，有…（2）物理意义：W(ejw)决定了H(ejw)逼近Hd(ejw)的效果。加窗的频率解释例：讨论举矩形窗设计出的逼近

Hd(ejw)的效果。解：幅度函数加窗的频率解释而理想低通数字滤波器其中：……（3）加窗的频率解释画出、、，如下图所示，说明（3）式的卷积过程和结果。加窗的频率解释加窗的频率解释加窗的频率解释结论：1）吉布斯现象是由于时域“加窗切断”hd(n)产生的。H(w)过渡带与WR(w)的主瓣宽度有关；阻带衰减与WR(w)的旁瓣有关；H(w)的过渡带宽等于WR(w)的主瓣宽度4p/N，反比于N。2）矩形窗则N不影响主瓣与旁瓣的相对幅度，因此N增大，不影响H(w)的肩峰，只影响余振频率增大。加窗的频率解释3）选窗原则：①W(w)旁瓣尽可能小，能量集中在主瓣。(N增大)②W(w)主瓣尽可能窄，过渡带窄。(N减小)二者的矛盾在工程上折中。加宽主瓣换取旁瓣抑制。三、常用窗函数举例1、矩形窗：其中：2、Bartlett窗（三角形窗）常用窗函数举例其中如下图所示，可以看出W(w)与WR(w)相比主瓣加宽了，而旁瓣抑制更好。（因旁瓣抵消一部分）3、Hanning窗（升余弦窗）常用窗函数举例4、Hamming窗（改进升余弦窗）对升余弦窗改进，使能量更集中在主瓣。常用窗函数举例5、Blackman窗（二阶升余弦窗）与上3的改进思路类似，但增加二阶谐波。6、Kaiser窗（凯塞窗）常用窗函数举例说明：b为可选择的参数。b越大，w(n)变化越快。

b

=0，w(n)为矩形窗；

b

=5.44，w(n)接近Hamming;

b=8.5，w(n)接近Blackman。其中：（零阶贝塞尔Bessel函数）常用窗函数举例00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBRectangularwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHanningwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHammingwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBBlackmanwindow各种窗函数的傅里叶变换（N=51)窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗(b=7.865)-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80讨论：常用几中窗函数的性能列于表7-3，使用时可查阅。表7-2的规律：阻带衰减的分贝数越大（性能好），代价是过渡带越大。四、设计方法及举例1、窗函数法设计步骤：(1)给定所要求的频率响应函数Hd(ejw).(2)计算理想hd(n).(3)按要求选窗w(n)

.（过渡带宽、阻带最小衰减等）.(4)查表定N

.(5)h(n)

=

hd(n)w(n)

(6)求H(ejw)＝DTFT[h(n)]，检验是否满足设计要求。例1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。2、应用举例解用理想低通作为逼近滤波器有用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：例1的低通幅度特性例2、设计一线性相位FIR数字低通LPF，要求通带截止频率为：wp=0.2p（带内衰减1dB），阻带截止频率为wst=0.3p

，阻带衰减优于-25dB。解：(1)窗函数一般带内衰减1dB都可满足。主要是考虑阻带衰减优于-25dB，查表5-2，选Hamming窗。设计方法及举例(2)从过渡带要求确定NHamming：过渡带即要求：（第1类，FIR线性相位条件约束）(3)理想LPFwpwst设计方法及举例窗口法特点：可得出h(n)的解析式。从(1)、(2)导出(3)式n:(0~80)的共81点，即设计好了。（4）讨论：第(3)步计算可用FT与DTFT关系来计算窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考，计算程序简便，所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。其他应用补充：1、理想Hilbert变换的时、频计算。计算单位冲激响应。或其他应用补充：)(wjeHpw0p2pj-pj)(wjeHpw0p2pj-pj2、理想微分器的时、频计算及FIR设计。

计算单位冲激响应。其他应用补充若选用矩形窗:则，显然。实现形式有前面所讲的3、4两种类型。【但矩型窗效果并不好】)(nhn0N-1第3类N为奇)(nhn0N-1第4类N为偶)(wjeHpw0N=11)(wjeHpw0N=6其他应用补充3、N点高通FIR设计显然：所以：其中：实现时，滤波器形式可以是有1到4任意一种。但3、4型一般用于微分器和相移器中。常用的是采用1、2型，但高通采用2型不好（见后面的图示）。其他应用补充：7.4频率采样法一、频率抽取设计法的基本思路窗口法从时域出发，频率采样法则从频域出发令达到使若要求h(n)可以对H(k)进行IDFT运算，得到：或延拓H(k)为：即频率内插，内插函数为：二、线性相位约束设计线性相位FIR时，H(k)样值也应满足线性相位条件约束。下面也分四类来讨论。令：线性相位约束第1类由：有：第2类由：有：第3类由：有：第4类由：有：频率采样法三、频率采样设计法举例例：设计一线性相位FIR，带通滤波器，通带500-700Hz，采样fs=3.3KHz，阶数选N=33。解：(1)确定H(k):由N=33，fs=3.3KHz，可得:频率分辨力：要求设计BPF，线性相位，N为奇数，选第1类FIR有：频率采样法(3)内插计算H(z)

--用z域内插(2)计算h(n)

，用IDFT四、增加过渡带和减少肩峰直接按上述对理想Hd(ejw)取样值，再内插。当有跳变处，会在内插时产生肩峰起伏。可以通过在过渡带中取一些样值来使之样值之间光滑过渡，使肩峰起伏小些。但计算上稍麻烦一些。至于取什么样的过渡点，在工作中大多结合CAD设计。五、举例说明例：用频率采样法设计线性相位LPF(N=15)。已知：解：(1)确定H(k)。取N为奇，线性相位（为第1类）(2)计算h(n)举例说明★频率采样型1-z

......

)0(h)1(h)2(h)14(h)(nx)(ny1-z1-z1-z(3)实现结构

★横截型运算量：15次（N）乘法，14次(N-1)加法。且H(k)样点少，可转化为实现系数二二环形式。本题只有一对复数H(k)

，一个实数H(k)

。举例说明运算量：乘法6次，加法6次。比前一种形式节省运算量。六、窗函数法与频率采样法比较总结：（1）FIR设计方法中，窗口法便于得到解析式，使用方便；而频率采样法在采样点数少时很方便，因此频率采样法便适用于窄带滤波器设计。（2）频率采样法的FIR设计方法与前述FIR滤波器实现结构中的频率采样型的理论都是一个，但用于不同的方面。7.5IIR与FIR数字滤波器的比较1、在相同技术指标下，由于IIR滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以使用较少的阶数、运算、和存储单元。通常FIR比IIR阶数高出5-10倍。2、FIR可得到严格的线性相位，IIR是不能得到严格的线性相位。IIR滤波器选择性越好，相位的非线性越严重。3、FIR滤波器具有稳定性；IIR结构容易引起寄生振荡。7.5IIR与FIR数字滤波器的比较4、FIR滤波器具有有限长冲击响应，易于用FFT进行快速处理。IIR滤波器是不行的。5、IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计经验，对计算工具要求不高；FIR需借助辅助计算机分析系数。6、FIR滤波器可以设计各种类型滤波器，而IIR主要设计较标准形状的滤波器。数字滤波器的应用信号消噪滤波技术是信号消噪的基本方法。根据噪声频率分量的不同，可选用具有不同滤波特性的滤波器。当噪声的频率高于信号的频率时，应选用低通滤波器；反之，选用高通滤波器。当噪声的频率低于和高于信号的频率时，应选用带通滤波器。当噪声的频率处于信号的频率范围时，应选用带阻滤波器。对FIR滤波器，滤波器设计的结果是它的单位脉冲响应