杆的有限元方程

Optimization&FiniteElementAnalysis杆的有限元方程陈宏博士历史1687年牛顿（Newton）《自然哲学的数学原理》出版牛顿力学；牛顿贡献——发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：万有引力定律动力学基本规律研究这些规律的方法—微积分力学的概念—速度、加速度、力、力矩——矢量牛顿力学——矢量力学；牛顿力学——天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受约束的自由质点；1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）——D’Alembert原理；1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学——Newton－Euler力学；1788年拉格朗日（Lagrange）——《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）约束在系统点的位置和速度上，事先预加的几何的或者运动学特性的限制，我们把这些限制称为约束。因此，物体在空间位置以及在运动中受到的限制称为约束，用数学方程表述各质点所受的限制条件称为约束方程。例如：两个质点在半径为R的球面上运动，且两质点间的距离为L保持不变；约束类型约束类型：几何约束，微分约束，完整约束，非完整约束，线性约束，非线性约束，定常约束，非定常约束，单面约束，双面约束广义坐标凡是能够确定系统位置的，适当选取的变量叫广义坐标。当所研究的系统加上约束时，从直角坐标过渡到广义坐标是特别方便。假设系统有N个质点，受d

个完整约束，可以选n＝3N－d个广义坐标，系统所有点的直角坐标可用广义坐标和时间t来表达，直尺的广义坐标广义坐标广义坐标是适当选取的，能够确定系统位置的，独立变量。广义坐标比笛卡尔直角坐标意义更广泛。广义坐标可以是距离、角度、面积以及其他的量。曲线坐标，如平面上的极坐标、空间中的柱坐标和球坐标，都可以选作广义坐标。独立广义坐标的数量=自由度数量虚位移受约束的质点运动时，每一时刻占有一定的位置，其运动应当满足其当时所在位置的约束条件。设在瞬时t，质点的位置在M，假如没有约束，则质点在此时刻可向

移动？假如有约束，则点在M位置只能在曲面上沿一条过M点的曲线而运动，点的速度矢量应与曲面

，它的位移应当在

上。在切线上而又不离开曲面的位移应是

位移。任何方向自由相切一条切线无穷小虚位移给定的固定时刻为加在质点上的约束所允许的所有假想的无穷小位移，称为质点的虚位移。虚位移的表示：变分符号δ因此，对位矢有δr；对直角坐标有δx，δy，δz；对广义坐标有δq。虚位移的计算规则：同微分算子d。注意：虚位移不能违背约束；虚位移是想象的，任意的；虚位移可能是一个实位移（在完整约束下）；对虚位移来讲，时间t是固定的，不变的虚功实功：dW=F·dr虚功：δW=F·δr真实力的幅值和方向完全不受虚位移的影响，因此在计算虚功时，是一个常数。直尺的虚功在虚功表达式中，虚位移的系数称为广义力。与广义虚位移δqi相对应的广义力，用符号Qi表示。如此，上式可以写为：其中，虚功原理虚功原理：在双面、理想、完整、稳定约束下，力学系统平衡的必要和充分条件是：作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和为零。★静力学的最普遍原理，由它可推导出全部静力学★从功的观点来研究力学系统的平衡（几何静力学从力的观点研究平衡）★分析力学的基本原理之一，与达朗贝尔原理联合可得到动力学普遍方程变形体的虚功原理变形体虚功原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所做总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。即恒有如下虚功方程成立变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系。二维板、三维块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。均匀梁受任意的y方向分布载荷fy(x)，y方向变形v(x)满足变形方程：把梁分成一系列有限长度的小段，使用等效的集中力和矩代替分布载荷，集中力和集中力矩作用在每个梁段的端点。节点单元对长度为l的任一梁段，在开区间0<x<l

内，变形方程：解：梁段四个自由度：v1Ψ1v2ψ2载荷限制法：每个三次多项式所描述的变形形状来自该多项式的自由度设为单位值1，而其他的自由度设为零值。形函数对任一梁段，节点处的弯矩和剪力：单元刚度矩阵如果梁还在x,z

平面也发生变形……4阶单元刚度矩阵2阶单元刚度矩阵2阶单元刚度矩阵如果梁还发生了扭转……，拉伸……梁单元完整的力——变形矩阵方程有

阶单元刚度矩阵，其中

个

自由度，

个

自由度，

个

自由度。对单个梁单元（第j个），剪力和弯矩所做虚功：梁的总虚应变能：总刚度矩阵单元刚度矩阵？单元30的局部自由度（单元自由度）：单元30的全局自由度：系统刚度矩阵于是有：我们的任务：写出这个刚度矩阵即便是数百个自由度，变换矩阵[Tj]，展开的单元刚度矩阵[Kj]也会消耗大量的计算机资源。其中每一个子矩阵是

阶的。那么对有限单元10……所以结构刚度矩阵由每一个单元刚度矩阵放置在全局刚度矩阵的相应位置构成，单元刚度矩阵在全局刚度矩阵中行与列位置与该单元的全局自由度的位置相对应。因此，全局刚度矩阵总是使用直接叠加的方式构造，而不是用繁琐的坐标变换。20单元与10单元、30单元间有自由度的

。重叠[K20]会覆盖[K10]、[K30]的一部分。不仅如此，所有的单元自由度都以顺序的方式重叠For

clarity，上述将单元刚度矩阵放入全局刚度矩阵相应位置的过程称作全局刚度矩阵的装配，或单元刚度矩阵组集。单梁展示的典型结果：刚度矩阵是对称的，主对角线周围都是非零元，主对角元都是正数。所有大型结构都拥有，或至少部分拥有相似的特征。例子