山东省烟台市莱州南十里中学2022年高一数学理期末试题含解析

山东省烟台市莱州南十里中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则(A)(B)

(C)(D)参考答案：A2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是

（）A．y=x3 B．y=﹣x2 C．y=2x D．y=ln|x|参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【解答】解：y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数；y=﹣x2为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；y=2x为非奇非偶函数，在（0，+∞）上单调递增；y=ln|x|为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；故选D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．3.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近D．概率是随机的，在试验前不能确定参考答案：C考点：概率的意义；随机事件．专题：概率与统计．分析：利用频率与概率的意义及其关系即可得出．解答：解：随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近，这个常数就是此试验的事件的概率．因此C正确．故选C．点评：熟练掌握频率与概率的意义及其关系是解题的关键．4.已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），且∥，则锐角θ等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量平行的坐标表示出两者的关系，再由θ为锐角最终确定范围．【解答】解：∵a∥b∴∴cosθ=又因为θ为锐角∴θ=45°故选B．【点评】本题主要考查平行向量的坐标表示．属基础题．5.如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【分析】由已知可得：PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角【解答】解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，∵PM∥AD，AD∥BC，PM=AD，AD=BC．∴PBCM是平行四边形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角．设PA=AB=a，在三角形ACM中，AM=a，AC=a，CM=a∴三角形ACM是等边三角形．所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°．故选：C6.已知

则

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={1，2，5}，则A∩（?UB）等于（）A．{2} B．{4，6} C．{2，3，4，6} D．{1，2，4，5，6}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】直接由集合的运算性质得答案．【解答】解：由全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={1，2，5}，∴?UB={3，4，6}．则A∩（?UB）={2，4，6}∩{3，4，6}={4，6}．故选：B．8.两圆的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，（x﹣2）2+（y+1）2=1则两圆的位置关系为（）A．相交 B．内含 C．外切 D．内切参考答案：B【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程写出圆心和半径，利用两圆的圆心距和半径的关系判断两圆内含．【解答】解：圆C的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，圆心坐标为C（﹣1，1），半径为r=6；圆D的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1，圆心坐标D（2，﹣1），半径为r′=2；所以两个圆的圆心距为：d==＜6﹣1=5；所以两个圆内含．故选：B．9.已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，∠OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V球==，得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．10.设函数,则（

）A．

B．11

C.

D．2参考答案：A因为函数,所以；可得，所以，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，

，若，则

.参考答案：－1,2；12.如图所示，已知G，G1分别是棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的下底面和上地面的中心，点P在线段GG1上运动，点Q在下底面ABCD内运动，且始终保持PQ=2，则线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，GM=1，M的轨迹是以G为球心，1为半径的球，利用球的体积公式，可得线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积．【解答】解：由题意，GM=1，M的轨迹是以G为球心，1为半径的球，线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为=，故答案为．13.（3分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为

．．参考答案：（﹣1，）考点： 任意角的三角函数的定义．专题： 计算题．分析： 由任意角的三角函数的定义即可求值．解答： 由三角函数的定义可得：x=2cos=﹣1，y=2sin=故点P的坐标为（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．点评： 本题主要考察了任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.已知，在直角梯形中，,动点在以为圆心且与直线相切的圆上运动，若，则的取值范围是参考答案：C15.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．参考答案：5：∵Sn＝t·5n－2－，∴a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－－(－)＝.又∵{an}为等比数列，∴q＝＝5，∴＝5，即＝＝5，∴t＝5.16.点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是

参考答案：17.

已知集合，则下列式子：①

②

③

④；表示正确的有

▲

个．参考答案：个三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.【分析】（Ⅰ）由题意可得CD⊥平面PAD，从而易得CD⊥PD；（Ⅱ）要证BD⊥平面PAB，关键是证明；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以CD⊥PA.因为CD⊥AD，，所以CD⊥平面PAD.因为平面PAD，所以CD⊥PD.(II)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以BD⊥PA.在直角梯形ABCD中，，由题意可得，所以，所以.因为，所以平面PAB.（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.证明：取PA的中点N，连接MN，BN，因为M是PD的中点，所以.因为，所以.所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN.因为平面PAB,平面PAB.所以平面PAB.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.（本小题满分12分）已知函数，其中e是自然数的底数，，（1）当时，解不等式；（2）当时，试判断：是否存在整数k，使得方程在上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由；（3）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围。参考答案：（1）即，由于，所以所以解集为；…………………2分（2）方程即为，设，

由于和均为增函数，则也是增函数，又因为，，所以该函数的零点在区间上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，所以方程有且仅有一个根，且在内，所以存在唯一的整数。…………6分（3）当时，即不等式恒成立，①若，则，该不等式满足在时恒成立；………7分②由于，所以有两个零点，若，则需满足

即，此时无解；………9分③若，则需满足，即，所以…………11分综上所述，a的取值范围是。………………12分21.已知函数,其中常数.(1)令,求函数的单调区间;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.参考答案：解：（1），单调递增区间为（）；单调递减区间为（）.

(2)时,,,其最小正周期由,得,∴,即区间的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点;故当时,21个,否则20个.

略22.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；9K：平面向量共线（平行）的坐