概率论与数理统计 8.1(假设检验的思想方法和基本概念)

§8.1假设检验的思想方法和基本概念若对参数有所了解但有怀疑猜测需要证实之时用假设检验的方法来处理若对参数一无所知用参数估计的方法处理假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断:

是接受,

还是拒绝.例如,提出总体服从泊松分布的假设;先提出假设H0,再根据一次抽样所得到的样本值进行计算.若导致小概率事件发生，则否认假设H0;否则，接受假设H0.基本原理小概率推断原理：小概率事件(概率接近0的事件)，在一次试验中，实际上可认为不会发生.2.基本思想方法采用概率性质的反证法：下面结合实例来说明假设检验的基本思想.例1某厂有一批产品，共有200件，需检验合格才能出厂.按国家标准，次品率不得超过3%.今在其中随机地抽取10件，发现其中有2件次品，问：这批产品能否出厂?分析：从直观上分析，这批产品不能出厂.因为抽样得到的次品率：然而，由于样本的随机性，如何才能根据抽样结果判断总体(所有产品)的次品率是否≤3%?解用假设检验法，步骤：1º提出假设H0:其中p为总体的次品率.2º设={抽取的10件产品中的次品数}3º在假设H0成立的条件下，计算4º作判断由于在假设H0成立的条件下，而实际情况是：小概率事件竟然在一次试验中发生了，这违背了小概率原理，是不合理的，故应该否定原假设H0

，认为产品的次品率p>3%.所以，这批产品不能出厂.根据上例可以看到假设检验的思想方法是：

(1)提出假设；

(2)在假设成立的条件下构造一个小概率事件；

(3)由样本数据判断小概率事件是否发生了，如果小概率事件发生了，根据“小概率原理”，作出否定原假设的推断．8.1.1假设检验的思想方法实例

某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5千克,标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(千克):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,问机器是否正常?分析:由长期实践可知,标准差较稳定,问题:根据样本值判断提出两个对立假设再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1),还是拒绝假设H0(接受假设H1).如果作出的判断是接受H0,即认为机器工作是正常的,否则,认为是不正常的.由于要检验的假设设计总体均值,故可借助于样本均值来判断.于是可以选定一个适当的正数k,

于是,当原假设H0:μ=0.5成立时,有:

为确定常数c,现在我们考虑一个相当小的正数(理由下面讲).例如=0.05.

于是,当原假设H0:μ=0.5成立时,有:由标准正态分布分位点的定义得于是拒绝假设H0,认为包装机工作不正常.假设检验过程如下:以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.二、假设检验的相关概念1.

显著性水平2.

检验统计量3.

原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为:4.

拒绝域与临界点当检验统计量取某个区域C中的值时,我们拒绝原假设H0,则称区域C为拒绝域,拒绝域的边界点称为临界点.如在前面实例中,双侧检验

（显著性水平与拒绝域）

抽样分布H0值临界值临界值a/2a/2

样本统计量拒绝域拒绝域接受域1-置信水平

下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这种思维也叫:

带概率性质的反证法

通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设.

带概率性质的反证法的逻辑是:

即如果假设H0是正确的话,出现一个概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.下面分别推出这两种检验的拒绝域：

(1)右边检验：H0:

0

H1:>0

由于X～N(,2)

，所以对于给定的小概率,由图8-2易知当原假设成立时，由于，所以8.1.1假设检验的思想方法由于当原假设成立时，是小概率事件,因此，选择做检验统计量,得到H0的拒绝域为：由于拒绝域在数轴的右端,故称此检验为右边检验.8.1.1假设检验的思想方法右侧检验

（显著性水平与拒绝域）

H0值临界值a样本统计量拒绝域接受域抽样分布1-置信水平观察到的样本统计量

(2)左边检验：H0:

0

H1:<0

由于X～N(,2)

，所以对于给定的小概率,由图8-3知当原假设成立时，由于所以即是小概率事件.8.1.1假设检验的思想方法由于当原假设成立时，是小概率事件,因此，仍然可以选择做检验统计量得到H0的拒绝域为由于拒绝域在数轴的左端,故称此检验为左边检验.8.1.1假设检验的思想方法左侧检验

（显著性水平与拒绝域）

H0值临界值a样本统计量拒绝域接受域抽样分布1-置信水平观察到的样本统计量再考察下面的例子．【例8.2】一台包装机包装洗衣粉，额定标准重量为500ｇ，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态N(，2)，其中

=15g通常不会变化为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：g）：497506518524488517510515516问这台包装机工作是否正常？通过分析知道:

要检验包装机工作是否正常，就是要检验总体均值

=500是否成立．8.1.1假设检验的思想方法现在我们再次回到包装机包装洗衣粉的问题上洗衣粉净重数据如下：问袋装洗衣粉的平均重量是否大于500?497506518524488517510515516在显著水平

=0.05下做右边检验：

H0:

500H1:>500

由于H0拒绝域为即{z

1.645}，而检验统计量的观测值z=2.02落入了拒绝域，因此，在

=0.05的显著水平下，应拒绝H0，可以认为袋装洗衣粉的平均重量是大于500.8.1.1假设检验的思想方法8.1.2假设检验的两类错误假设检验依据“小概率原理”决定是接受H0或拒绝H0．“小概率原理”只是在概率意义下成立，不能说小概率事件在一次试验中绝对不可能发生．因此，假设检验问题可能会犯如下两类错误：第一类错误(“弃真”):实际情况是H0成立，而检验的结果表明H0不成立，拒绝了H0.

第二类错误(“存伪”):实际情况是H0不成立，H1成立，而检验的结果表明H0成立，接受了H0.假设检验中的两类错误（决策结果）H0检验决策实际情况H0为真H0为假接受H0正确第二类错误(b)拒绝H0第一类错误(a)正确犯第一类错误的概率：P{弃真}=P{拒绝了H0|H0为真}=P{检验统计量落入拒绝域|H0为真}

犯第二类错误的概率：P{存伪}=P{接受了H0|H0为假}=P{检验统计量未落入拒绝域|H0为假}=

8.1.2假设检验的两类错误自己先取定的,可以控制!不容易计算，不能控制!（1）假设检验时拒绝原假设具有实际意义，其结果应受到充分的重视,即拒绝了H0

有充分的依据；（2）不能拒绝原假设时，必须根据其他信息才能作出较为准确的判断，即接受了H0

仅是没有充分依据拒绝H0，并不是在一次试验中对接受H0提供了充分的依据．这表明原假设处于被保护的地位，不至于轻易被否定8.1.2假设检验的两类错误错误和错误的关系你不能同时减少两类错误!和的关系就像翘翘板，小就大，大就小关于原假设与备择假设的选取H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误的概率的原则下,使得采取拒绝H0的决策变得较慎重,即H0

得到特别的保护.因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第