第3章 平面机构的运动分析

第3章平面机构的运动分析基本要求:1、了解对平面机构进行运动分析的任务及目的和常用的方法；2、掌握平面机构瞬心的概念及瞬心求法和利用瞬心对平面机构进行速度分析；3、掌握利用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析；4、了解用解析法对机构进行运动分析。主要内容：1、速度瞬心概念与机构瞬心位置求解；2、用瞬心法对机构进行速度分析；3、用矢量方程图解法对II级机构进行速度及加速度分析；4、用解析法（复数矢量法）作机构运动分析。重点难点：1、用三心定理求机构瞬心位置；2、矢量方程图解法作机构速度及加速度分析；（1）利用同一构件两点间的运动矢量方程做机构的速度及加速度图解分析；（2）利用两构件重合点间的运动矢量方程作机构的速度及加速度图解分析（两构件重合点之间含有科氏加速度时的加速度分析是难点）。§3-1机构运动分析的任务、目的和方法一、任务根据机构的尺寸及原动件已知运动规律，求构件中从动件上某点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角加速度。二、目的

设计新的机械和了解已有机械的运动性能都是十分必要的；也是研究机械的动力性能的必要前提。三、方法机构运动分析的方法很多，主要有以下两种图解法解析法方便、直观，能满足一般精度要求的实际问题需要。如瞬心法（一般只能对简单机构进行速度分析）、矢量方程图解法（可进行速度和加速度分析）。精确，可借助计算机来完成。一般用于需要精确知道或了解机构一系列位置及在整个运动循环中的运动特性时，以便绘制运动线图和进行机构优化设计。如复数矢量法、矩阵法等。§3-2用瞬心法作机构的速度分析瞬心法是对机构进行速度分析的图解法的一种，在仅需对机构进行速度分析时，采用瞬心法十分方便。什么是瞬心、如何求瞬心、以及如何利用瞬心对机构进行速度分析，是本所要讨论的内容。一、瞬心的概念如图，在任一瞬时，刚体j相对于刚体i的相对平面运动可看作是绕某一重合点的转动，该瞬时转动中心称为速度瞬心(instantaneouscentreofvelocity)或回转中心，简称瞬心。瞬心也可定义为两构件上瞬时相对速度为零或瞬时绝对速度相等的重合点。以Pij表示构件i、j的瞬心。绝对瞬心(absoluteinstantaneouscentreofvelocity)相对瞬心(relativeinstantaneouscentreofvelocity)由N个构件（包含机架）组成的机构，其瞬心数目K为：绝对速度为零的瞬心。即绝对速度不为零的瞬心。即二、瞬心位置的确定1、两构件的相对运动已知时，其瞬心位置可由定义求出；2、通过运动副直接相连的两构件其瞬心位置的确定（1）当两构件组成转动副时，转动副的中心便是它们的瞬心；（2）当两构件组成移动副时，其瞬心位于导路垂线的无穷远处；（3）当两构件组成纯滚动高副时，接触点相对速度为零，该点就是其瞬心；（4）当两构件组成滑动兼滚动的高副时，接触点的相对速度沿切线方向，其瞬心应位于过接触点的公法线上。具体位置还要根据其他条件才能确定；3、对于不直接用运动副相连的两个构件，其瞬心位置需借助三心定理求出。三心定理(Kennedy-Aronholdtheorem)

彼此作平面相对运动的三个构件共有三个瞬心，这三个瞬心必位于同一直线上。三心定理的证明？4、求机构瞬心举例

如图所示的铰链四杆机构，该机构共有K=6个瞬心，分别如下：在利用三心定理确定机构的瞬心位置时，通常可直接采用一种简捷方法，即瞬心代号下角标同号消去法。把相同构件代号下标消去，剩余重新组合。如图所示的曲柄滑块机构三、利用速度瞬心法进行机构的速度分析已知机构各构件的尺寸，原动件2的角速度，试求在图示位置时从动件4的角速度。解：根据分析易知求解需确定瞬心的位置。因瞬心是构件2、4的等速重合点，故有：

其中为机构的尺寸比例尺(dimensionscale)，它是构件的真实长度与图示长度之比，单位为m/mm或mm/mm。(transmissionratioofmechanism)(Transferfunction)试中称为机构的传动比（或传递函数）。已知机构各构件的尺寸，凸轮2的角速度，试求在图示位置时从动件3的移动速度。首先求出构件2、3的瞬心

瞬心即为两构件的瞬时等速重合点，有：

因构件3作移动输出，各点的瞬时速度相同。方向向上。说明：

从以上分析可知，用瞬心法作简单（常见）机构的速度分析较为简单，但当机构较复杂或某些瞬心位于图纸之外时，会造成求解困难；在需要了解机构一系列位置的速度变化情况时要分别作出机构简图和重新进行瞬心位置求解，显得复杂工作量大。还可以看出，瞬心法不能用于进行机构的加速度分析。四、瞬心线*

两构件瞬心的位置随机构的运动而变动。瞬心将在各自构件上形成一条轨迹，这个瞬心轨迹称为瞬心线(centrode）。动瞬心线（movingcentrode)定瞬心线(fixedcentrode)可知，机构运动时，动瞬心线将沿着定瞬心线作无滑动的纯滚动。就实现连杆3的一般平面运动而言，原铰链四杆机构完全可用两瞬心线为高副元素的两构件的高副机构来地代替。§3-3用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析依据的基本原理:是理论力学中的运动合成原理。

矢量方程图解法（vectorgraphicmethod）又称相对运动图解法（relativekinematicgraphicmethod）。运用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析的基本过程是：根据运动合成原理列机构运动的矢量方程按方程作图求解一、利用同一构件上两点间的运动矢量方程作机构的速度及加速度的图解分析如图：已知机构各构件的尺寸及原动件1的运动规律，即、已知，求构件2的角速度及角加速度和连杆2上C点的速度及加速度：按运动合成原理，点C的运动可以认为是随基点B的平动与绕基点B点的相对转动的合成，即有：为了求得及，需先求出构件2上C点的速度及加速度。C点相对于B点的相对速度：大小方向垂直于BC连线，指向与转向一致。1、列出矢量方程C点相对于B点的相对加速度：由两部分组成：相对法向加速度：方向由C点指向B点。相对切向加速度：方向与BC连线垂直，指向与转向一致。在速度矢量方程中：大小：？√？方向：√平行导路垂直BC

该矢量方程中包含两个未知量，故可利用作图法求解。2、速度图解分析选取适当的尺寸比例尺（单位m/mm），按给定的位置准确作出①机构的运动简图。如果机构运动简图不准确，将影响速度和加速度分析结果的正确性。选取适当的速度比例尺。（m/s）/mm则：方向由b指向c。方向由将代表的线段平移到C点，可得构件2相对构件1绕B点逆时针转动，即为逆时针方向。再来分析构件2上点E的速度。方向：√√垂直BE垂直CE大小：√√？？左图即为机构的速度多边形（velocityofvectorpolygonofmechanism）或速度图。点称为速度多边形的极点，即（绝对）速度为零的点。

由极点向外与图中任一点所作的带箭头的矢量线代表机构中构件上相应点的绝对速度。而连接两绝对速度矢量端的矢量线代表构件上相应两点间的相对速度。如表示；代表，方向由B指向C。与的对应边相互垂直，故两者相似，且字母顺序方向也一致。图形称为构件图形的速度影像（velocityimageoflink）。Ff借助速度影像在已知某构件两点速度时求该构件上第三点的速度就很方便。如求F点速度。注意：速度影像原理只适用于构件，而不适用于整个机构。3、加速度图解分析在加速度矢量方程中：√√大小：？√？√方向：平行导路垂直BC√由C指向B

该矢量方程中包含两个未知量，故可利用作图法求解。选取适当的速度比例尺。（m/s2）/mm加速度多边形极点表示了表示了则构件2的角加速度为：方向由平移到机构中的C点确定（逆时针）。同理可求得构件2上E点的加速度与的对应边相互垂直，故两者相似，且字母顺序方向也一致。图形称为构件图形的加速度影像（accelerationimageoflink）。F借助加速度影像在已知某构件两点加速度时求该构件上第三点的加速度就很方便。如求F点的加速度。注意：加速度影像原理只适用于构件，而不适用于整个机构。二、利用两构件重合点间的运动矢量方程作机构的速度及加速度的图解分析此种情况所研究的是以移动副相连的两转动构件上的重合点间的速度及加速度之间的关系。

其列出的机构运动矢量方程与前一种情况有所不同，但作图分析方法基本相似。方向：大小：？√？如图所示机构，构件2与构件3就是通过移动副相连的两转动构件。注意重合点位置的选择？B点：速度分析：方向为顺时针方向。方向：大小：？？√√√加速度分析：称为科氏加速度，大小为方向由沿转过得到。方向为逆时针方向。§3-4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析所谓复杂机构是指Ⅲ级以上的机构和组合机构等。对此类机构单纯利用瞬心法或矢量方程图解法进行速度分析均显得复杂，往往采用将两种方法综合利用。1、齿轮－连杆机构如图：已知各构件的吃尊和主动齿轮2的角速度，求机构在图示瞬时构件6的速度。解：求,应知道，则必须先知道。分析易知，点E和K分别为瞬心（绝对）和则可求得、。对于齿轮3，利用速度影像原理，可求得方向为顺时针。再由得到于是可得：速度图中各圆对应于机构个齿轮的速度影像。2、摇动筛已知图示机构各构件尺寸及原动件2的角速度，作出机构在图示位置时的速度多边形。解：求解关键应先求出，可列出在3个方程中的未知量均超过两个，不能由其一或联立图解得出，但若知道的方向，则由第个方程可得到，进而可得到机构的速度多边形。根据条件求得瞬心（绝对瞬心）的方向垂直于然后借助于上述3个方程，得到机构该瞬时的速度多边形。3、风扇摇头机构已知图示机构各构件的尺寸和原动件2相对于构件1的相对角速度，求机构在图示位置时的与。若建立矢量方程：式中各速度的大小均未知，故不能求解。但如选取C点为构件1、2的重合点，借助于相对瞬心点B，建立如下矢量方程：方向：？？大小：方向均为顺时针方向。§3-5用解析法作机构的运动分析用解析法作机构运动分析，相对于图解法，具有分析精度高，并可借助计算机应用标准计算程序或方程求解器等软件包分析机构在运动过程中的一系列位置的速度、加速度。用解析法作机构运动分析的基本过程是：首先建立机构的位置方程式，然后将位置方程式对时间求一次或二次导数，即可求得机构的速度和加速度方程，进而解出所需位移、速度及加速度，完成机构的运动分析。根据在建立和推导机构的位置、速度和加速度方程时所采用的数学工具不同，机构运动分析的解析法有多种，常用的有矢量方程解析法、复数矢量法、矩阵法。在本书中主要介绍复数矢量法（methodofcomplexvector）和矩阵法（matrixmethod）。复数矢量法和矩阵法对机构作运动分析，均需先列出机构的封闭矢量位置方程式。一、机构的封闭矢量位置方程式如图所示的铰链四杆机构，以铰链点为坐标原点且使构件4与横坐标轴重合建立直角坐标系，现将机构中每一构件用矢量来表示，、、、分别为各构件的杆长，、、、对应为每个构件相应的杆矢量，、、、（）分别为各杆矢量的方位角，则由构件杆矢量形成一个封闭的矢量多边形，因此有矢量位置方程式：可通过矢量方程求得两未知数、。需注意的是：杆矢量的方向可根据解题需要自由确定，而杆矢量的方位角以轴正向开始，逆时针方向为正，顺时针方向为负。二、复数矢量法利用欧拉公式杆矢量可在极坐标和直角坐标之间进行交换。即把一杆矢量用复数的形式进行表示。为矢量长度，为矢量的方位角。1、位置分析利用欧拉公式，将封闭矢量位置方程写为复数矢量形式：实部和虚部分离：即可得未知方位角、2、速度分析对时间求导，得：实