第7章1 常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法

第7章考虑常微分方程的初值问题

(7-1)

(7-2)则（7-1）的解存在且唯一。

或与其等价的积分方程

若f(t,u)关于u满足Lipschitz条件，即存在常数L，对任意t∈[a,b],均有

它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列事先求出其上的未知函数u(t)之值的近似值:而u1,u2,…,uN通常称为初值问题的数值解。

首先我们利用数值积分公式建立求解（7-1）或（7-2）的数值方法。什么是数值解法？通常取成等距，即ti=t0+ih,i=1,2,…,N,其中h>0称为步长。取定的[a,b]中的离散点（称为节点）基于数值积分的解法

由（7-2）式将节点取为（7-3）

如果u(tn)的近似值un已经求出，则通过计算(7-3)右端项的数值积分可求出u(tn+1)的近似值un+1令

上式称为Euler求解公式，又称矩形公式。一、Euler法首先，对(7-2)右端积分项使用左矩形求积公式，则得用Euler公式计算如下初值问题的解u(t)在t=0.3处的数值解u3。

例：（取步长h=0.1,小数点后保留4位）

解：

相应的Euler公式：由初值，计算得首先，对(7-3)右端积分项使用右矩形求积公式，则得令

上式称为隐式Euler公式，又称右矩形公式。隐式Euler法二、梯形法对(7-2’)右端的积分使用梯形求积分式计算，则得令上式称为梯形求解公式，简称梯形法．

将Euler公式与隐式Euler公式做算术平均，也可得出梯形公式取初值为，反复迭代，即一般的迭代公式表示为：k=0,1,2,…,梯形公式与Euler公式相比要精确的多，但是梯形公式的从而要用如下迭代公式：每步计算要解一个关于un+1的非线性方程，计算量要大一些。，，，

若序列收敛于，当时，得到：则取为第个近似值。

如此迭代下去得到迭代序列：，，在实际计算中，通常要求满足

为终止条件，此时取作为的近似值。

为了避免求解非线性代数方程，可以用Euler法将它显化，建立预测——校正系统：此求解公式称为改进的Euler法，其中称为预测值，称为校正值.其求解顺序为：改进的Euler法还可写成如下形式：如果f(t,u(t))关于u是线性函数，则隐式公式可以显式化。

例若方程为：

隐式Euler公式：

，

梯形公式：

三、Milne公式若使用Simpson求积公式，得

令

进一步可写成其中

此为二步方法，需要已知un和un+1，才能由上式计算出un+2的值。二步以上的方法也称为多步法。定义

为求解公式在tn点上的整体截断误差。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。定义假设ui=(u(ti))，i=0,1,2,…,n-1，则称为求解公式第n步的局部截断误差。

如果设某求解公式的局部截断误差：这样我们就称该求解公式具有p阶精度。则我们可以证明其整体截断误差为：事实上，若则

求解公式的精度越高，计算解的精确性可能越好。的分析，可知Euler法具有一阶精度，梯形法具二阶精度。通过简单下面利用Taylor展开，求Euler法的局部截断误差

线性二步法公式：在前面，我们介绍了基于数值积分的特殊的单步法与多步法。显式单步法Euler公式:单步法一般可写成：其中φ是依赖于(7-1)右端的函数f(t,u)。

当取φ=f(tn,un)时，为Euler法；

当取φ=f(tn+1,un+1)时，为隐式Euler法；当取时，为梯形法。用到前一结点的值un-1,所以从初值u0出发可逐步算出以后各结点的值u1,u2,…,通过（7-3）计算结点tn=t0+nh,n=0,1,2,…的近似值un,每次只故称为单步法。基于Taylor展开的解法

线性多步法的一般公式为：是常数，（7-4）其中和不同时为0。按（7-4）计算un+k时要用到前面k个结点值因此称（7-4）为多步法

或k-步法。又因为（7-4）关于是线性的，所以称为线性多步法。为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0

外，还要知道附加初值u1,u2,…,uk-1，这可用其它方法计算。若βk≠0,则方法（7-4）是隐式的。则称（7-4）是显式的；若βk=0例如，对于线性二步法：当取时，就是Milne法。或（数值解满足的差分方程）我们将基于Taylor展开式来构造出更一般的求解公式。1、基于Taylor展开式的求解公式(单步法、多步法)2、显式Runge-Kutta法(单步法)用数值积分法只能构造一类特殊的多步法，本节这将包含如下的内容：初值问题（7-1），（7-2）的解充分光滑，将u(t)在t0处用Taylor公式展开：(7-5)其中(7-6)令舍去余项(7-7)则可将（7-5）改写成为，则得一般而言，若已知un，则这是一个单步法，局部截断误差为O(hp+1)，(7-7),由（7-6）

当p=1时，它是Euler法。展开法做数值计算，但可用它计算附加值。一般不直接用Taylor

令(7-28)设u(t)是初值问题（7-1），（7-2）的解，将u(t+jh)和在点t处进行Taylor展开,将上式代入（7-28）式，得2.待定系数法将下式按h的同次幂合并同类项，得记为其中即有(7-30)若u(t)有p+2次连续微商，则可选取适当k和αj，βj使而cp+1≠0,即选αj和β

j满足：此时而，则cp+1hp+1u(p+1)(t)称为局部截断误差主项;cp+1称为局部截断误差主项系数。舍去余项Rn，并un+j代替u(tn+jh)，用fn+j记f(tn+j,un+j)，就得到

线性多步法（7-24），其局部截断误差为：可以证明其整体截断误差En=O(hp)，故称为p阶k步法。因为（7-24）可以相差一个非零常数，所以不妨设αk=1。

当βk=0时,un+k可用un+k-1,…，un直接表示，故称为显式法。

反之，当βk≠0时，求un+k需解一个方程(一般用迭代法),用待定函数法构造多步法的一个基本要求是选取αj,βj使局部截断误差的阶尽可能高。下面我们讨论构造一般线性二步法公式的待定系数法。记α0=α,其余四个系数由确定，即满足方程：称为隐式法。此时解之得所以一般二步法为(7-31)由（7-30）知道:当α≠-1时c4≠0

，方法（7-31）是三阶二步法。

这是四阶二步法，是具有最高阶的二步法，称为Milne方法。当α=-1时c4=0

，但c5≠0，方法（7-31）化为：

此外，若取α=0,则（7-31）为：

此为二步隐式Adams方法；若取α=-5，则（7-31）为：是显式方法。用类似的计算过程可获得一些常用的线性多步法的局部截断误差。当k=1时，梯形法（二阶隐式方法）：其中α1=1,α0=-1,，从而有，其局部截断误差为后Euler法（一阶隐式方法）其中α1=1,α

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