高中数学：3.1.1《空间向量坐标》（新人教B选修21）

一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标二、向量的模与方向余弦的坐标表示点在坐标轴上的投影、向量在坐标轴上的分向量和投影向量的分解式、向量的坐标、向量的坐标表示式利用坐标进行向量的加减和数乘、利用坐标判断两个向量的平行两个向量的夹角、投影定理向量的方向角、向量的方向余弦向量的模的坐标表示方向余弦的坐标表示、单位向量的表示空间向量的坐标.数轴上的有向线段的值：设在数轴u上点A、B的坐标分别为u1、u2，记作AB．则称数值u2u1即AB=u2u1．则显然有u2u1uO1AB一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标为数轴u上有向线段的值，设是与数轴u同方向的单位向量，(u2u1)．.P1为终点的向量．的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量．O

x

yzP1称为点M1在x轴上的投影，P2称为点M2在x轴上的投影．上的分向量．M1M2P2或ax

．ax=x2-x1．设是以M1(x1,y1,z1)为起点、以M2(x2,y2,z2)有向线段的值P1P2叫做向量在轴x上的投影，记为.Q1称为点M1在y轴上的投影，Q2称为点M2在y轴上的投影．上的分向量．

x

yzP2P1OM1M2或ay

．

ay=y2-y1．Q2

Q1为终点的向量．的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量．设是以M1(x1,y1,z1)为起点、以M2(x2,y2,z2)向量称为向量在y轴有向线段的值Q1Q2叫做向量在轴y的投影，记为.R1称为点M1在z轴上的投影，R2称为点M2在z轴上的投影．上的分向量．

x

yzM2P2P1Q2

Q1OM1或az

．az=z2-z1．R2R1为终点的向量．的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量．设是以M1(x1,y1,z1)为起点、以M2(x2,y2,z2)向量称为向量在z轴有向线段的值R1R2叫做向量在轴z的投影，记为.O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1为终点的向量．的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量．设是以M1(x1,y1,z1)为起点、以M2(x2,y2,z2)a

x(x2x1)、a

y(y2y1)、a

z(z2z1)，.O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1起点为M1(x1，y1，z1)而终点为M2(x2，y2，z2)的向量a

x(x2x1)、a

y(y2y1)、a

z(z2z1)，(x2x1)(y2y1)(z2z1)．a

xa

ya

z此式叫做向量的坐标表示式．并记{a

x、a

y、a

z}，上式称为向量按基本单位向量的分解式．向量在三个坐标轴上的投影a

x、a

y、a

z叫做向量的坐标，.注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数a

x，a

y，a

z，而向量在坐标轴上的分向量是三个向量.利用向量的坐标进行向量的加减和数乘：则{a

x

b

x，a

y

b

y，a

z

b

z}．{a

x

-

b

x，a

y

-b

y，a

z

-b

z}．{a

x，a

y，a

z}．，.利用向量的坐标判断两个向量的平行：则即于是.

例1设A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)为两已知点，而在AB解设所求点为M(x，y，z)，则{xx1，yy1，zz1}

{x2x，y2y，z2z}，{x，y，z}{x1，y1，z1}

{x2，y2，2}{x，y，z}，BAMxyzO..二、向量的模与方向余弦的坐标表示两个向量的夹角：即间任意取值．规定它们的夹角可在0与之OBAj.)juA'B'ABB''ABB''j投影定理：的余弦：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角Prju=||cosj．.向量的方向角：、、(0<、0、0)来表示它的方向，称、、M1M2O

x

yz对于非零向量我们可以用它与三条坐标轴的夹角.向量的方向余弦：因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以a

x||cos

||cos

；a

y||cosb

||cosb；a

z||cosg

||cosg

；上述cos

、cos