第 01章 2 次课 - 速度例题 加速度

1位置矢量运动方程位移§1.1质点运动的描述BA一、质点参考系二、位矢运动方程位移/16三、速度四、例题分析例3

如图所示，A、B两物体由一长为的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行.如物体A以恒定的速率向左滑行，当时，物体

B的速率为多少？得,物体A

的速度物体B

的速度解

建立坐标系如图,设A、B两物体的坐标分别为:由即§1.1质点运动的描述2/16即因OAB为一直角三角形，且刚性细杆的长度l为一常量.两边求导得即A(x,0)B(0,y)lA(x,0)B(0,y)l由此可得,可见,当A沿x轴向左运动时,B沿y轴的正向运动.速度的大小为§1.1质点运动的描述3/16加速度是反应物体运动速度变化快慢的物理量.通常物体在运动时,速度是变化的.包括大小或方向的变化.要完整描述物体的运动状态,除知道位移和速度外,还应该知道速度的变化情况.为此,物理上引入加速度的概念.41.平均加速度平均加速度等于单位时间内的速度增量四、加速度A§1.1质点运动的描述设质点沿曲线运动,如图所示.B在t时刻,质点位于A点,速度为在t+t时刻,质点位于B点,速度为因此,在t时间内,速度的增量为加速度是矢量,其方向与速度的增量相同.(1)即与同方向./1652.（瞬时）加速度§1.1质点运动的描述AB当t0,B点趋近于A点,这时AB段的平均加速度就是A点的瞬时加速度.即(2)因为,所以(2)式可以写为式中是加速度在x轴和y轴上的分量.加速度大小(4)(3)加速度方向是速度增量的极限方向.在曲线运动中,加速度的方向指向曲线的凹侧./166加速度大小质点作三维运动时加速度为§1.1质点运动的描述上述加速度的式子,可以推广至三维运动的情况:(3)加速度的单位:由(3)式可知,加速度的单位是m·s-2;即米每二次方秒./16加速度大小(4)加速度的方向:与x轴的夹角为7讨论在Ob上截取则有§1.1质点运动的描述

(i)

吗？

因此,答案是

(ii)

吗？

例如

匀速率圆周运动答案:O因为所以因此而/168解：如图建立坐标系.§1.1质点运动的描述由加速度定义得即两边积分,得即化简得由速度的定义得即两边积分,得即代入初速度,得（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？/16例3

有一个球体在某液体中竖直下落，其初速度为,它的加速度为,式中的单位为m·s-2.

问:（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动;910§1.1质点运动的描述(i)

根据述计算结果,可以认为经过9.2秒钟后小球已停止.(ii)

小球停止前,下落了约10米的距离./1610作为运动学的一个实际例子,下面分析斜抛运动.书上例4的扩充.从地面上某点以一定初速度向空中抛出一物体,它在空中的运动就称抛体运动.注意:物体被抛出后,忽略风的作用,它的运动轨道总是被限制在通过抛射点的由抛出速度方向和竖直方向所确定的平面内,因而抛体运动一般是二维运动.不计空气阻力和风的作用等因素.即t=0时,x0=0,y0=0;

则物体在运动过程的加速度是恒定的.

如图所示,t=0时刻物体以初速度Vo,抛射角从坐标原点抛出.即ax=0,ay=-g或1.在直角坐标系下,任意一t时刻物体的速度函数和位置函数;根据上述条件讨论如下几个问题:2.物体从抛出到回落到与抛出点等高度所用的时间T;3.飞行中的最大高度Ymax

为;4.飞行的射程X;5.飞行的轨迹方程xyog§1.1质点运动的描述/16112.物体从抛出到回落到与抛出点等高度所用的时间T;1.运动函数和速度函数由运动方程的分量式和初位矢x0=0,y0=0物体落地时,y=0;由(6)式得,得速度函数为(5)得运动函数为(6)解得,t1=0(物体抛出前);由速度分量式和初速度αxyog§1.1质点运动的描述/16123.飞行中的最大高度Ymax

4.飞行的射程X5.飞行的轨迹方程物体在最高点时Vy=0;由得将tH代入得,将T代入得由上式可见,当初速度大小一定时,抛射角为450时,射程达到最大值.由运动函数消去参数t,得轨迹方程为Hyαxo上述结果是在忽略空气阻力等因素的条件得到.考虑空气阻力后,射程和高度比上面的计算结果小,轨迹方程也不是对称的曲线.§1.1质点运动的描述/1613质点运动学的核心小结4.由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度.3.已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程.§1.1质点运动的描述1.位矢、位移、速度、加速度是描述质点运动状态的物理量.5.运动函数、速度、加速度之间的关系:求导求导积分积分/162.运动函数

反映物体运动的规律,是运动学的核心.14§1.2圆周运动/16一、平面极坐标和自然坐标系

以为坐标的参考系称为平面极坐标系.极坐标系和直角坐标之间的变换关系为圆周运动是一种特殊的曲线运动.对于圆周运动,在极坐标系和自然坐标下描述更简单.A(x,y)

设一质点在Oxy平面内运动，某时刻它位于点A.A点的位置可以用位矢表示.也可用位矢的大小r和位矢与x轴之间的夹角为表示.即质点在点A

的位置可由A(r,)

来确定.xy(1)2.自然坐标系A(x,y)切线法线质点作曲线运动时,任意一点处以切线和法线为坐标轴构成的坐标系称为自然坐标系.如图所示,和是切线方向和法线方向的单位矢量.1.平面极坐标系15二、圆周运动的角速度和角加速度§1.2圆周运动如图所示,质点在平面上作半径为r的圆周运动.AB在某一t时刻,质点在A位置,其坐标为A(r,).显然,当质点在圆周上运动时,角将随时间变化.因此,角是时间的函数(t).(t)称为角坐标.

质点运动的快慢怎么表示?因半径r不变,因此如果角坐标随时间变化越快,则质点运动越快.为了描述角坐标(t)随时间变化的快慢,引入角速度.2.角速度即角速度(2)角坐标(t)随时间的变化率,即d/dt叫做角速度.用符号表示.角度的单位用弧度(rad)表示,因此角速度的单位为弧度每秒,符号为rad·s-1

角速度随时间变化的快慢又用什么量来表示呢?/161.角坐标16§1.2圆周运动AB2.角加速度角速度(t)随时间的变化率,即d/dt称为角加速.用符号表示.3.圆周运动的速率ds质点在dt时间内的位移为由图可知,有因此