诱导公式课时作业

课时作业诱导公式①、②、③、④(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.计算sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))的值为()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)D[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).]2.计算sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是()A．1 B．2C．0 D．2sin2αB[sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.]3.计算sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(11,4) D．eq\f(9,4)A[原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos245°＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).]4．若sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(π＋α)的值为()A．eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(\r(5),3)C．±eq\f(\r(5),3) D．以上都不对B[∵sin(π－α)＝sinα＝log232－2＝－eq\f(2,3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,9))＝－eq\f(\r(5),3).]5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(3),3) D．－eq\f(2\r(3),3)B[∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝－eq\f(1,3).]6．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③sin(2A＋2B)＋sin2④cos(2A＋2B)＋cos2其中为常数的是()A．①③ B．②③C．①④ D．②④B[①sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；②cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；③sin(2A＋2B)＋sin2C＝sin[2(A＋B＝sin[2(π－C)]＋sin2C＝sin(2π－2C＝－sin2C＋sin2④cos(2A＋2B)＋cos2C＝cos[2(A＋B＝cos[2(π－C)]＋cos2C＝cos(2π－2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2二、填空题7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝________.－eq\f(\r(3),3)[∵eq\f(5π,6)－θ＋eq\f(π,6)＋θ＝π，∴eq\f(5π,6)－θ＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝－eq\f(\r(3),3).]8．若tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为________．eq\f(m＋1,m－1)[由tan(5π＋α)＝m，得tanα＝m.于是原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).]9．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.eq\f(12,13)[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13)，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).]三、解答题10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解]由条件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2),2)，又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.当A＝eq\f(3,4)π时，cosB＝－eq\f(\r(3),2)<0，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,6)，∴C＝eq\f(7,12)π.综上所述，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.[等级过关练]1.若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβC．tanα＝tanβ D．cos(2π－α)＝cosβA[∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sinα＝sin(π－β)＝sinβ.]2.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2015)等于()A．4 B．3C．－5 D．5D[f(2009)＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5，f(2015)＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5.]3.已知cos(π＋α)＝－eq\f(3,5)，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________.eq\f(1,5)[∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∵π<α<2π，∴eq\f(3π,2)<α<2π，∴sinα＝－eq\f(4,5).∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq\f(1,5).]4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπxx<0，,fx－1－1x>0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值为________．－2[因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝－2.]5．是否存在角α和β，当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)时，等式sin(3π－α)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)使等式同时成立．理由如下：由sin(3π－α)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ))两式平方相加得，sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝eq\f(1,2)，即sinα＝±eq\f(\r(2),2).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以