空间距离的运算问题2(答案)

向量法求空间距离（配套练习的答案）1.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB

4，AC

BC

3，D

为AB

的中点.（1）求点

C到平面

A1ABB1的距离；（2)若AB AC，求二面角A CD C的平面角1 1 1 1的余弦值.解：（1）记A1B1的中点为M，分别以DB，DC，DM为x,y,z轴，（如图）建立坐标系：可设AA1m，则A(2,0,0),B(2,0,0),C(0,5,0),A1(2,0,m),B1(2,0,m)显而易见：平面A1ABB1的法向量为n(0,1,0)，CA(2,5,0)，所以,点C到面A1ABB1的距离为h|nCA||5|5|n|1（2）cos6.（过程略）32.如图，四棱锥

P

ABCD

中，

ABC

BAD

90，BC

2AD,PAB与

都是边长为

2的等边三角形

.（1）证明：PB CD（2）求点A到平面PCD解：（1）取BC的中点E连结是正方形

的距离.DE，则

ABED过P

作PO

平面

ABCD

，垂足为

O.连结OA,OB,OD,OE

.由

PAB

和

PAD

都是等边三角形知

PA

PB

PD

，所以OA

OB

OD

，即点

O为正方形

ABED

对角线的交点，故

OE

BD

，从而

PB

OE

.

因为

O是BD

的中点，

E是BC

的中点，所以

OE//CD

，因此

PB

CD

.(2).

如图建立空间直角坐标系：

D(0,0,0),C(2,

2,0),P(1,1,

2),A(0,2,0)设n(x,y,z)为平面PCD的法向量，DC(2,2,0),DP(1,1,2),DA(0,2,0)，则nDC得nDC(x,y,z)(2,2,0)2x2y0，令x1，nDPnDP(x,y,z)(1,1,2)xy2z0则n(1,1,2)，即h|nDA21.||||n|4所有：A到平面PCD的距离为1.3．如图，在多面体ABCDE中，ABDE是平行四边形，AB、AC、AD两两垂直．（1）求证：平面ACD平面ECD；（2）若BCCDDB2，求点B到平面ECD的距离．解：（1）证明：∵ABAC，ABAD，ACADA，∴AB平面ACD，∵ABDE是平行四边形，∴AB//DE，∴DE平面ACD，∵DE平面CDE，∴平面ACD平面ECD．(2).解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系：由已知条件可得：A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),D(0,1,0),E(1,1,0)，设n(x,y,z)为平面ECD的法向量，EC(1,1,1),ED(1,0,0),BC(1,0,1)，则nEC得nEC(x,y,z)(1,1,1)xyz0，令y1，nEDnED(x,y,z)(1,0,0)x0则n(0,1,1)，即h|nBC||1|2|n|22.即B到平面CDE的距离为2．24.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，对角线B1C10，D是AC的中点.1）求点B1到直线AC的距离；（2）求直线AB1到平面C1BD的距离．解：（1）连结 BD，B1D，由三垂线 定理可得：B1DAC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。在RtBBD中BB1B1C2BC2102826,BD43．1BDBD2BB2221．11（2）解：直线AB到平面CBD的距离即为点A到平面CBD的距离.111如图，建立空间直角坐标系：由已知条件可得：A(0,4,0),B(43,0,0),C(0,4,0),D(0,0,0),C1(0,4,6),B1(43,0,6)，设n(x,y,z)为平面C1BD的法向量，BC1(43,4,6),BD(43,0,0),AB(43,4,0)，则nBC1得nBC1(x,y,z)(43,4,6)43x4y6z0，令y3，nB