《代数初步》参考

《代数初步》教学参考代数初步教学目标1．回顾和整理小学阶段有关代数的初步知识：字母表示数、方程、正反比例、看图找关系、探索规律。2．再次经历探索规律的过程，并运用字母表示某些规律，体验用字母表示数能表达一般规律，增强应用规律解决问题的意识。3．在运用方程解决问题的过程中，再次体会列方程解决问题在某些情况下的优越性，并巩固解简单方程的方法。4．回顾正比例、反比例的意义，在正比例、反比例、看图找关系的回顾与反思中，体会函数的思想。教材分析与教学建议该部分主要回顾和整理小学阶段代数初步知识，教材将其划分为：用字母表示数，方程，正比例、反比例和探索规律四个部分。从算术到代数，是数学发展也是数学学习的重要转变，其中一个重要的标志就是用字母表示数。这样一来，人们的思考方式就能从具体到抽象、从特殊到一般、从静止到变化。这部分内容也是后续中学代数学习的重要基础。（一）用字母表示数这部分内容所对应的课程标准中的要求：●在具体情境中会用字母表示数。教材分析与教学建议前面已经提及，用字母表示数是从算术到代数的重要标志。运用字母代替具体的数，就可以表达一般的规律，由此就可以产生方程、函数等重要的刻画现实世界数量关系和变化规律的重要模型。我们在教学中强调，字母、含有字母的式子可以表示数或数量关系，如：a－5既可以表示两个数的差（一个结果），又可以表示数a与5相差的关系；进一步，对于表示数实际上对应的是方程的解，对于表示数量关系对应的是函数思想的初步。由于字母表示数是代数学习的首要环节，因此理解字母表示数的意义是学习代数的关键，也是运用代数式、方程、不等式、函数等进行交流的前提条件。回顾与交流教材从三个方面对这部分内容进行整理：第一，鼓励学生再次经历探索规律的过程，并运用字母表示所探索出来的规律，由此体现字母表示数的好处；第二，对字母表示数所显示的规律，鼓励学生从多个方面寻找符合这一规律的“原型”，以使学生进一步体会到数学规律的一般性；第三，鼓励学生回顾已经学习过的规律，并运用字母表示，进一步使学生体会到规律的一般性和字母表示规律的简洁性。第1题首先呈现了淘气用扣子摆图案的活动情境，鼓励学生再次经历探索规律的过程，并运用字母表示所探索出来的规律。教学时，可以首先鼓励学生观察摆图案所用扣子的规律，并通过用含有字母的式子表示第n个图案一共用多少个扣子，唤起学生对用字母表示数的记忆。接着教师可以鼓励学生联想还有哪些利用这一规律可以解决的问题，从多个方面寻找符合这一规律的“原型”，以使学生进一步体会到数学规律的一般性。在此基础上，教师可以鼓励学生自己来摆有规律的图案，并经历寻找规律—表达规律—寻找“原型”的过程。教材所提供的规律实际上是平方数，教师可以鼓励学生将数与形进行结合。第2题教材鼓励学生对学过的一些常见的数量关系，运算定律，几何图形面积、体积的计算公式等知识进行全面的回顾，这是对以前所学知识的复习，更重要的是使学生进一步体会到用字母表示规律的简洁性。巩固与应用第1题填一填，主要是用字母表示数量关系。答案：（1）x－25；（2）5n－m；（3）2a＋6；（4）80％a。教师也可以整理以前所做过的有关题目，针对学生不熟悉的数量关系进行有针对性的练习。第2题这是对“路程、时间、速度”数量关系的巩固。学生利用这一数量关系，可以解决这一问题。答案：（1）（a＋b）或者＋；（2）当a＝45，6＝60时，（a＋b）的值为，即两地间距离为千米。第3题本题学生首先要理解在这种情况下圆的半径和正方形边长之间的关系，然后通过正方形的周长和面积公式，写出式子：8r和4r²。第4题这是一个有趣的探究规律的问题，可以先根据前三组呈现的图形的变化关系发现规律，进而抽象出表达式：1＋3n；当n＝100时，1＋3n的值是301。对于有困难的学生，应鼓励他们通过实际操作探索规律。（二）方程这部分内容所对应的课程标准中的要求：●会用方程表示简单情境中的等量关系。●理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程（如3x＋2＝5，2x－x＝3）。教材分析与教学建议回顾与交流方程是刻画现实世界数量关系的重要模型。在这部分内容的回顾中，教材强调运用方程解决实际问题，鼓励学生解简单的方程。第1题教材首先呈现了两个解方程的题目，引导学生复习如何解方程。教师可以让学生在解方程后说一说是怎样解的。教材所提供的两道题目代表了小学阶段要求学生会解的简单问题的类型，教师不必再补充不同类型方程的题目。同时，对于如何解方程，学生只要能用自己的语言描述即可，不需要背诵统一的步骤。按照课程标准中的要求，学生应会用等式性质解方程。在此基础上，学生也可以通过运算之间的关系解方程，但不作全班要求。答案：x＝，x＝。第2题教材鼓励学生在解决这些问题的过程中深人体会数量之间的相等关系。对于教材出现的三个问题以及与它们类似的问题，本套教材要求学生用方程解决，不需要掌握算术方法，当然，如果学生出现了算术方法，教师也应鼓励。这三个问题对应于传统的“分数除法问题”“和倍问题”“相遇问题”，但教学时教师不要让学生记忆题型，关键是让学生能借助画图等方法找到问题中的等量关系，并列出方程。答案：（1）设商店购进x箱橘子，45x＝20,x（2）设小刚收集了x枚邮票，x＋3x＝128，x＝32，3x＝32×3＝96。（3）设x分后能相遇，（75＋80）x＝1240，x＝8。巩固与应用第1题答案：x＝4；x＝；x＝；x＝13；x＝：x＝15。第2题答案：（1）60％x＝1200，x＝2000；（2）7s＝，s＝；（3）3x－x＝10，x＝5；（4）x＋3x＝，x＝。第3题分析数量关系时，引导学生注意“两套丛书的本数相同”的条件。答案：设每套丛书有x本，＋＝120，x＝8。第4题猜一猜的题目，会激起学生的兴趣，教学时要注重学生对等量关系的理解，让学生根据数量关系列出方程。（1）设这个数为x，5x＋5＝100，x＝19;（2）设这个数为x，8x＋x＝66,x＝8。第5题本题是传统的“工程问题”，但教学时不要让学生记忆和套用题型，要引导学生根据问题的实际意义和对等量关系的寻求列出方程。对于此类问题不需要再增加难度。答案：（1）8（a＋b）；（2）设修完这条公路需要x天，（85＋65）x＝3000，x＝20。第6题解答本题时，要注意理清原正方形的边长、扩大后正方形的边长之间的关系，寻找到等量关系列出方程。本题有一定的挑战性，作为基本要求，教师不必再补充比此题难度更高的问题。答案：设原正方形的边长为x厘米，x＋13x＝48÷4，x（三）正比例、反比例这部分内容所对应的课程标准中的要求：●通过具体问题认识成正比例、反比例的量。●能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。●能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。教材分析与教学建议回顾与交流正比例和反比例是刻画变量之间关系的两个重要的模型，是小学阶段学习的两个重要的“关系”（即函数）。对它们的学习也为以后学习函数奠定了重要基础和经验。由于这两个内容是本学期才学习的，因此回顾和反思时，可以鼓励学生自己独立整理。教材也创设了寻找实例、列表、画图等丰富的活动，帮助学生再次体会两个变量之间相互依赖的关系，加深对正、反比例关系的认识。第1题鼓励学生举出成正比例、反比例的量，在学生举例的基础上，教师可以鼓励学生回顾什么是成正比例、反比例的量，并说明自己的举例为什么是成正比例或者成反比例。第2题教材创设了路程和时间之间关系的问题，并运用表格、图、关系式、自然语言等方式来描述这一关系，使学生体会刻画变量之间关系的多种形式，并促进学生在几种方式之间进行转化。教学时，教师可以再举出一些实际问题或鼓励学生提出实际问题，让学生再次经历多种方式表示的过程；同时，教师应通过语言、板书等形式将几种方式进行对应，如，表格中的2时的路程是200千米，对应于图中的哪个点？能否运用关系式求出？又如，每增加1时，路程的变化在表格中如何看出？在图中如何看出？第3题将学生的视野由正比例、反比例拓展到两个变量之间的关系，这也体现了本套教材的特点。学生只要能举出例子就可以了，教师可以让学生说清楚谁随准变化。对于感兴趣的学生，教师可以鼓励学生通过表格、图等大致地刻画变量之间的关系。巩固与应用第1题鼓励学生用自己的语言说明理由。答案：（1）反比例；（2）不成比例；（3）反比例。第2题鼓励学生用自己的语言说明理由。答案：（1）正比例；（2）不成比例；（3）反比例；（4）反比例。第3题注入水的时间/分58101323水的体积/升1016202646答案：第4题答案：（2）在一条直线上；（3）2分半时，行驶的路程为千米。第5题复习的是看图找关系的内容，图能直观地刻画出两个变量之间的关系，学生要根据所描述的情况进行选择。答案：第一幅图符合。（四）探索规律这部分内容所对应的课程标准中的要求：●探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势。教材分析与教学建议回顾与交流探索规律是重要的数学学习内容，在本套教材中主要是鼓励学生探索数之间蕴涵的规律、图形之间蕴涵的规律、实际生活中蕴涵的规律等。对于规律的探索，不仅仅能使学生加深对所学的数、图形的理解，而且能够发展学生观察、归纳、概括的能力，同时可以使学生初步体会函数的思想。第1题探索乘法表中的规律。乘法表中蕴涵着丰富的规律，教学时要给学生留下充分观察和思考的时间，让学生尽可能多地发现数与数之间的规律，然后让学生进行交流，尝试用语言、表格、图、关系式或者其中的几种方式刻画所发现的规律。教师也可以引导学生有序地进行观察，横看、竖看、斜看等。比如，学生可能会发现：（1）横着看，每一行都是一个数的倍数。（2）竖着看，每一列都是一个数的倍数。（3）找出积相等的数，这些数所对应的两个乘数成反比例关系，如下图所示。学生还可能发现其他规律，只要合理都应鼓励。巩固与应用第1题答案可以是：（1）后一个数比前一个数多3，20，26。（2）分别是平方数，从2的平方开始，36。（3）分别是立方数，从1的立方开始，64，216。（4）第三个数等于前两个数的和，39，102。此题目有一定的挑战性，教师需加以引导。第2题对于学习有困难的学生，可以鼓励他们通过实际操作探索规律。（1）10；（2）6＋3×4,6＋4×4,6＋4（n－1）。第3题学生可以利用不同的记号代表不同颜色的气球，通过实际列举得出答案。第20个气球为黄色；第27个气球也为黄色。第4题第5堆小球数是：1＋2＋3＋4＋5＝15；第8堆小球数是：1＋2＋3＋