《概率的基本性质》设计

《概率的基本性质》教学设计【教学目标】1.通过实例，理解概率的性质．2.能够利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率【教学重点】理解概率的性质并能利用其求解随机事件的概率【教学难点】利用随机事件概率的运算法则求概率【课时安排】1课时【教学过程】认知初探概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考1：设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？[提示]不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考2：某地区明天下雨的概率为，那么明天晴天的概率是否为？[提示]由于明天下雨与明天晴天虽是互斥事件但不是对立事件，故不是.小试牛刀1．若A，B为互斥事件，则()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1D解析：因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲不输的概率为()\f(5,6)\f(2,5)\f(1,6)\f(1,3)A解析：P(甲不输)＝P(和棋)＋P(甲获胜)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A． B．C． D．C解析设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝，P(C)＝，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝.故选C.4．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝，P(C)＝，则P(A＋B)＝解析∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝，P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.例题讲解互斥事件、对立事件的概率公式【例1】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率.(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.【思路点拨】思路一:写出试验的样本空间，直接利用古典概型的概率公式计算.思路二：利用互斥事件或对立事件的概率公式计算.【解析】方法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球有12种取法.所以任取1球得红球或黑球的概率为=.(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为.方法二：(利用互斥事件求概率)记事件={任取1球为红球}，={任取1球为黑球}，={任取1球为白球}，={任取1球为绿球}，则P()=，P()=，P()=，P()=.根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P()=P()+P()=(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P()=P()+P()+P()=方法三：(利用对立事件求概率)⑴由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即的对立事件为，所以取得1球为红球或黑球的概率为⑵的对立事件为所以方法总结(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．当堂练习1袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？解析：设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(5,12)，,y＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－x－y))＝\f(5,12).))解得x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)，所以得到绿球的概率为1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用【例2】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．[思路点拨]eq\x(利用树状图法列举事件)→eq\x(计算样本点个数)→eq\x(利用古典概型概率公式计算概率)[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).方法总结1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．课堂练习2一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq\f(3,16)，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16)概率与统计的综合应用问题【例3】某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示.(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到.(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层随机抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率.解:(1)由频率分布直方图得,众数为=65.成绩在[50,70)内的频率为+×10=,成绩在[70,80)内的频率为×10=,∴中位数为70+×10≈.(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为,,,∴[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1.(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.∴从抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有30个,分别为ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长”为事件Q,则事件Q包含的基本事件有18种,∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率P(Q)=方法总结解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.当堂练习3已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．[解](1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，游客人数的平均值为50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(人)．游客数量(单位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天数a1041频率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优