【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第3知识块第3讲三角函数的图象课件 北师大版

【考纲下载】1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.第3讲三角函数的图象1．三角函数的图象五点画图法(1)y＝sinx，x∈[0,2π]上的五个关键点为：

，

，

，

，

．(2)y＝cosx，x∈[0,2π]上的五个关键点为：

，

，

，

，

.(0,0)(π，0)(2π，0)(0,1)(π，－1)(2π，1)2.【思考】

用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的具体做法？答案：设X＝ωx＋φ，由X取0，

，π，

，2π来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.图象变换函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如

下变换得到：

把y＝sinx图象上所有的点向

(φ>0)或向

(φ<0)平行移动

个单位．左|φ|

把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标

(0<ω<1)或

(ω>1)到原来的

倍(纵坐标不变)．

伸长缩短右3．

把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标

(A>1)或

(0<A<1)到原来的

倍(横坐标不变)．伸长缩短A提示：y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换最好是先平移再伸缩，每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看角的变化．如：将y＝sin2x的图象向右平移

个单位，则得到函数图象的表达式是1．函数y＝1＋cosx的图象(

)

A．关于x轴对称

B．关于原点对称C．关于直线x＝

对称

D．关于y轴对称解析：函数y＝1＋cosx是偶函数，其图象关于y轴对称．答案：D2．已知简谐运动

的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(

)解析：由题意知1＝2sinφ，

而此函数的最小正周期为答案：A3．(2009·山东卷)将函数y＝sin2x的图象向左平移

个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(

)答案：B(2009·江苏卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期

，又由函数y＝Asin(ωx＋φ)得答案：34．常用三角函数的图象和性质(奇偶性、定义域、值域、单调性)来判断函数的图象，高考中这一题型常以选择题的形式出现，此时亦可用排除法．(2009·浙江卷)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(

)【例1】思维点拨：对实数a分a＝0,0<a<1，a>1三种情况验证．解析：当a＝0时，f(x)＝1，图象即为C项；当0<a<1时，三角函数的周期为T＝>2π，图象即为A项；当a>1时，三角函数的周期为T＝<2π，图象即为B项．答案：D五点作图法的一般步骤是：1．将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)的形式；2．列表，令z＝ωx＋φ，分别令z＝0，

，π，

，2π，求出相应的x值 x1，x2，x3，x4，x5，及相应的y值0，A,0，－A,0，列成表格；3．描点，在坐标系中作出五个点(x1,0)，(x2，A)，(x3,0)，(x4，－A)， (x5,0)，即函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一个周期上的五个点；4．连线，用平滑曲线连接起五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定 义域上的图象．已知函数f(x)＝2sinx·(sinx＋cosx)，(1)求f(x)的最小正周期；

(2)画出函数y＝f(x)在区间

上的图象．思维点拨：按以上步骤进行．解：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝∴f(x)的最小正周期为π.【例2】故函数y＝f(x)在区间

上的图象如下：(2)由(1)知设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝

，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解：∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，变式2：故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是在三角函数图象的平移问题中首先要搞清楚是哪个函数图象变换到哪个函数图象，分析清楚自变量变化的过程．【例3】

(2009·安徽合肥)已知函数指出的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．

到

的图象关于坐标原点对称．拓展3：本例条件不变，指出y＝f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于y轴对称．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)解析式的确定，也就是参数A，ω，φ的确定，通常方法为：

1．A可由图象的最高(低)点确定；

2．ω一般通过周期公式T＝

来求解，因而要求出ω，关键在于求出周 期．一般地，函数的周期可以由最高点、最低点、零点的坐标或者对称轴的方程、对称中心的坐标等来求解；

3．φ可用代入法求解，即把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)求解，此时要注意这个已知点是最值点还是零点，如果是零点还要看清它是在递增区间上还是在递减区间上．如右图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，由图中条件，写出该函数的解析式．思维点拨：A和ω由图象可以直接求出，把图象上点的坐标代入可求φ.【例4】解法一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，解法二：(最值点法)解法三：(起始点法)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的．由图象易得x0＝【方法规律】1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都 离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的．因而对函数图 象要做到会作图、会识图、会用图．2．基本作图法是“五点法”和“变换法”，其中“五点法”的关键是五个 特殊点；图象变换要特别注意是“变量”的变化而不是“角”的变化．3．图象变换的两种途径的差异，先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换，图象平移的幅度不同．4．给出图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k的难点在于φ的确定，本质为待定系数法．基本方法是：①“五点法”，运用“五点”中的一点确定．②图象变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零值点或最值点确定φ.有时从找“五点法”中的第一零值点

作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.【高考真题】(2008·广东卷)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α，β∈ ,且f(α)＝

，f(β)＝，求f(α－β)的值．【规范解答】解：(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，【易入误区】这是一道容易题，但是全省的平均分却很低．考生解答三角试题的主要障碍就是运算能力不过关，公式记忆不牢，忽略公式成立条件．对于诱导公式只记忆结论，忽视产生的过程．不会设计算法，漠视算理，这样的问题非常普遍．此外在重要的步骤要切记进行检验，否则前功尽弃．比如在计算出f(x)＝cosx之后，就应该将M 代入检查答案是否正确，待确定无误后再进行下一步解答．【