-15-2014中文第15章有限元方法在流体力学中的应用

Chapter15有限元方法在流体力学中的应用ApplicationsofFEMinFluidMechanics(FundamentalsoffiniteelementanalysisbyDavidV.Hutton)1引言不可压缩流体(incompressibleflow):密度不变可压缩流体(compressibleflow)Newton’slawofviscosityμ为绝对粘度(absoluteviscosity).是流体的基本材料参数,与其抗剪应力性能直接相关。如果流体的粘度很小，则可忽略其剪应力，理想化为无粘性流体。2不可压缩流体的控制方程质量守恒连续性方程u,v,w,是速度在x,y,z方向的分量质量守恒要求一个体积里面的质量变化率等于该体积的质量净流入速度。体积dV里的总质量为ρdV,注意到dV为常数,所以有：从x,y,z三个方向流入质量造成的控制体积中的质量变化率分别表示为：所以质量的变化率为：注意到dV=dxdydz,于是得到连续性方程为：对于稳态的不可压缩流体(steadyflowofanincompressiblefluid),密度与时间和空间坐标无关，于是有旋流和无旋流(RotationalandIrrotationalFlow)把流体流动分为：有旋流动(rotational)

---平动和转动混合无旋流动(irrotational)---仅有平动。流体微元体积没有纯转动。如果下列三式不能同时满足，则为有旋流动:我们目前仅考虑无旋流动。二维流的流函数(steamfunction)对于2D,稳态,不可压缩,无旋流动连续性方程为无旋条件退化为如果引入

ψ(x,y)(流函数)，则连续性条件自动满足:无旋条件变为(Laplace’sequation)流函数的物理意义流线(streamlines):x-y平面内的曲线，其上的流函数为常数。流线上的任一点的切向量可以表示为

nt

=dxi+dyj，该点处的流体速度为V

=ui+vj.则

V×nt=(−vdx+udy)k=0因为：两个非零向量的叉积为零意味着这两个向量平行，所以：在流线上任一点，流体速度正切于流线。有限元列式具有M个节点的有限单元内的流函数可以表示为:利用Galerkin方法,单元的残差方程为：or应用Green-Gauss定理，上式变为其中

S

为单元边界(nx

,ny

)为边界单位外法线向量。代入流函数表达式，有：写为矩阵形式二维流动的流速势函数(VelocityPotentialFunction)假定存在流速势函数φ(x,y)使得则无旋条件能自动满足:连续性条件变为:(again,weobtainLaplace’sequation)在流速势函数为常数的曲线上，有所以可见，速度向量垂直于流速势为常数的曲线。于是，流线和流速势等值线形成了正交网格，称为流网(flownet).有限元列式与流函数的情形类似：单元刚度阵与流函数法的相同，但是节点力完全不同。不可压缩粘性流假定:可以看作二维问题不涉及热3.密度和粘度为常数4.稳态(不随时间变化)表示动量守恒的Navier-Stokes方程为:u,v=x,y方向速度分量

ρ=密度p=压力

μ=绝对粘度FBx

,FBy

=x,

y方向单位体积的体力斯托克斯流(StokesFlow)Stokesflow(orcreepingflow)：流体流动的速度很小，惯性项比粘性项小很多，可以忽略。高粘度流体，如融化的高分子材料。动量方程变为上式和连续性方程一起构成了三个未知数u(x,y),v(x,y),andp(x,y)的三个方