第四章1-2随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征4.1数学期望4.2方差4.1.1一维离散型随机变量的数学期望4.1.2一维连续型随机变量的数学期望4.1.3二维随机变量函数的数学期望引例1分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?4.1.1一维离散型数学期望的概念

4.1数学期望A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAAB

BABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABBA胜B负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:设甲、乙两工人在相同条件下生产同一种产品，

甲一天内生产的废品数为X，乙一天内生产的废品数为Y，经过长期观察，得X，Y的分布如下：引例2技术高低问题?谁的水平更高一些？在同一个标准下(比如假设让甲、乙两人在相同条件下各工作100天)，以乙生产的废品数(或平均每天生产的废品数)来衡量技术高低。由概率统计定义，甲生产0个，1个，2个，3个次品的天数为30，30，2020.故甲平均每天生产的次品数：同样可以得到乙平均每天生产的次品数因此乙的技术要好一些。关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.例1

设X服从参数为的泊松分布，求X的数学期望。解：例2

如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.例3商店的销售策略解例4

随机变量的函数的数学期望设X的分布密度为:求4X+5的数学期望。解：先求出4X+5分布一般地，若X的分布为：4.1.2一维连续型数学期望的概念

解例5

设X服从[a,b]上的均匀分布，求E(X).例6解：E(X)与离散型随机变量类似，则Y的数学期望为：例7解：4.1.3二维随机变量函数的数学期望

例8解：由(X,Y)的分布密度可得Z的分布密度例91.设C是常数,则有证明3.设X是一个随机变量,C是常数,则有例如可以证明，数学期望的有如下性质：2.设X是一个随机变量,C是常数,则有4.设X是一个随机变量,k,b是常数,则有5.设X,Y是两个随机变量,则有推广：6.设X,Y是相互独立的随机变量,则有通常想法：引例1：有甲、乙两射手，他们每次命中的环数分别用X、Y表示，已知X、Y分布列如下：试问：甲、乙两人谁的技术更稳定些？89100.20.60.289100.10.80.1在技术水平相同的条件下，比较一下谁的技术更稳定些。一、方差的概念4.2方差衡量办法：看谁命中的环数比较集中于平均值附近，或偏离平均值程度较小。89100.20.60.289100.10.80.1所以乙射手要比甲射手的技术稳定些。定义

X的标准差：设X为一随机变量，若存在，则称其为X的方差，记作即定义：[注1]：方差刻划了X取值的分散（或集中）程度.[注2]：方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.二、方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证明(3)设X是一个随机变量,c是常数,则证明(4)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明推广离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差三、随机变量方差的计算

(1)利用定义计算

证明(2)利用公式计算例1计算参数为p的0-1分布的方差

解