第7章分子动理论

大学物理学(Ⅱ)物理电子学院

吴昊1注意事项1.成绩构成：平时20%，期中20%，期末60%2.习题册：第二周周四（9月8日）9:00-17:00，清水河文印中心，8元/册，按行政班购买。3.作业：第三周开始，每周一交。作业和出勤计入平时分，平时分过低的将取消考试资格。4.答疑：初步定在每周二/周四，第三周开始，详情见教务处通知。【本课程为吴昊/黄乒花合上，各负责半学期】2第7章（Fundamentalofstatisticalmechanics)统计物理初步热学(Thermodynamics)3

热力学宏观基本实验规律热现象规律逻辑推理特点：普遍、可靠，但不知物理本质

统计力学对微观结构提出模型、假设统计方法热现象规律特点：可揭示本质，但受模型局限。热学——研究热现象的规律及其应用的学科。4§7.1热力学系统平衡态一.热力学系统大量分子和原子的集合热力学系统与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量交换)的系统，称为孤立系统。

与外界没有质量交换和但有能量交换的系统，称为封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统，称为开放系统。

二.状态参量根据描述对象的不同分为宏观量和微观量。

如P、V、T等（广延量和强度量）5不同于系统受恒定外界影响所达到的定态。气体处于平衡态的标志是P、V、T各具有确定的一个量值。

如孤立容器中的气体不论初始情况如何，总能达到各处ρ

、P、T相同的平衡态。三.平衡态

在不受外界影响的条件下，系统的所有宏观性质不随时间变化的状态,称为平衡态。由此引入温度参量——热力学第零定律温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量6一.理想气体的状态方程

严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖-吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体，称为理想气体。压强越低,温度越高,实际气体越接近理想气体。

理想气体的状态方程:§7.2理想气体压强和温度的统计意义

适用条件:理想气体平衡态7玻耳兹曼常量

k=R/NA=1.38×10-23(J·K-1)R=8.31(J·mol-1·K-1)理想气体状态方程又可写为

pV=NkT式中：n=N/V—分子的数密度。或p=nkT

m分子质量,N

气体分子数8=2.7×1025(个/m3)例题7.2.1估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。

解由公式：p=nkT

标准状态:

p=1atm=1.013×105Pa,T=273K

=2.7×1019(个/cm3)k=1.38×10-23(J·K-1)9

解抓住：分子个数的变化，用pV=NkT求解。使用完后瓶中氧气的分子个数:每天用的氧气分子个数:能用天数：未使用前瓶中氧气的分子个数:例题7.2.2氧气瓶(V=32l)压强由p1=130atm降到p2=10atm时就得充气。每天用1atm、40l

氧气,一瓶能用几天?(设使用中温度保持不变)10初态,定态。对dM:可视为平衡态例题7.2.3金属管下端封闭,上端开口。加热到下端T1=1000K，上端T2=200K，设温度沿管长均匀变化。后停止加热、封闭开口端，冷却到TE=100K,求管内压强(设大气压为po)。dxxdM..............LS末态,平衡态。x解11dxxdM..............LSx12=0.2po最后得末态:封闭开口端，使管子冷却到TE=100K，求管内压强。dxxdM..............LSx13

▲每个分子的力学性质（1）大小：分子线度<<分子间平均距离；（2）分子力：除碰撞的瞬间，分子之间、分子与器壁之间无作用力；重力也可忽略；（3）碰撞性质—

弹性碰撞；（4）服从规律—

牛顿力学。二.理想气体的微观模型也即：极小的彼此无相互作用的弹性分子小球14▲大量分子的统计假设（对平衡态）（2）由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，（1）无外场时，分子在各处出现的概率相同；速度取向各方向概率相同，即：注意：统计规律有涨落（fluctuation），统计对象的数量越大，涨落越小。15三.理想气体的压强公式单位时间内与面积s碰撞的分子数=斜柱体中的分子数：niixs

一个分子碰撞一次给器壁A的冲量：2mix

设分子质量为m,分子数密度为n,而速度为的分子数密度为ni。理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的压强，是大量分子对器壁不断碰撞的结果。........xAiixsuiyuixuizm16单位时间内给面积s的冲量就为：2smniix2

对各种速度求和，得单位时间内给面积s的总冲量平均冲力:单位时间内与面积s碰撞的分子数：niixs

一个分子碰撞一次给A面的冲量：2mix

压强:........xAiixsuiyuixuizm17（平均来说，ix0和ix0的分子各占一半）........xAiixsuiyuixuizm18理想气体的压强公式：—气体分子的平均平动动能令19四.温度的统计意义从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为可见，温度是分子平均平动动能的量度。这就是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子，说它有温度是没有意义的。因p=nkT，20五.混合气体内的压强道尔顿分压定律于是有p=p1+p2+……+pn

这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。设容器内有多种气体，n=n1+n2+…+ni…+nn,其中ni是第i种气体的分子数密度,由压强公式有21解由压强公式：所以=8.28×10-21J又，所以温度：=400K例题7.2.4容器:p=2.76×105pa，V=1m3，

N1=1×1025个氧分子，N2=4×1025个氮分子，求分子的平均平动动能及混合气体的温度。(10-2eV量级)22§7.3能量按自由度均分定理确定它的质心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；所以共有5个自由度。C

一.气体分子的自由度

自由度—确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标个数。

单原子气体分子可视为质点,确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度。刚性双原子气体分子23C非刚性双原子气体分子

多原子气体分子(原子数n3)

刚性:6个自由度(3个平动自由度,3个转动自由度);非刚性：有3n个自由度，其中3个是平动，3个是转动，其余3n-6是振动。在常温下，气体可视为刚性分子，所以只考虑平动自由度和转动自由度；但在高温时，则要视为非刚性分子，还要考虑振动自由度。确定质心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；确定沿连线的振动，要1个振动自由度，所以共有6个自由度。24根据量子理论，分子能量是分立的，且t、r、s的能级间距不同。振动能级间隔大转动能级间隔小平动能级连续一般情况下（T<103

K），振动能级极少跃迁，——振动自由度s

“冻结”，分子可视为刚性。当温度极低时，转动自由度r也被“冻结”。25气体分子自由度小结i=3(单原子)5(刚性双原子)6(非刚性双原子)6(刚性多原子(n3))3n(非刚性多原子(n3))特别是对刚性气体分子，自由度为i=3(单原子)5(刚性双原子)6(刚性多原子(n3))26二.能量按自由度均分定理可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为。27能量按自由度均分定理：设某分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则该分子的总自由度：i=t+r+s;分子的平均总动能：分子的平均振动动能：分子的平均转动动能：分子的平均平动动能：理想气体处于平衡态时,其分子在每个自由度上的平均动能都相等，都为。28分子的平均总能量：

i=t+r+s分子的总自由度。对刚性气体分子(无振动自由度)，平均总能量:对每个振动自由度，由于平均势能和平均动能相等，故分子不仅有的平均动能，还应有的平均振动势能。29三.理想气体的内能所有分子无规则热运动的能量和分子间势能的总和，叫做气体的内能。一摩尔理想气体的内能为(NAk=R)

理想气体的内能是所有分子无规则热运动能量的总和。一个(刚性)分子的平均总能量:质量为M的理想气体的内能为30(1)

例7.3.1(1)容器内盛有单原子理想气体，测得压强为p，那么单位体积中的内能为多少？(2)将氧气(O2)离解为氧原子(O)后，再将温度升高一倍，则内能之比2.431解

(1)(2)=1.35×105pa=7.5×10-21J=362K例7.3.2刚性双原子分子V=2×10-3m3,内能E=6.75×102J，N=5.4×1022个,求:(1)p=?(2)

=?T=?32

解

无能量交换，故混合前后气体的内能不变：又p1V=v1RT1,p2V=v2RT2p(2V)=(v1+v2)RTP1T1

VP2T2

V......例7.3.3容器两边是同种气体，左边：p1、T1、V；右边：p2、T2、V；抽去中间的隔板，混合过程中气体与外界无能量交换，求平衡时的压强和温度。33一.麦克斯韦速率分布定律式中N为分子总数，f()称为麦克斯韦速率分布函数，它可以写成§7.4麦克斯韦气体分子速率分布律理想气体处于温度T的平衡态时,在速率区间—+d

内的分子数为

dN=Nf()d这就是麦克斯韦速率分布定律。341.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义由dN=Nf()d

f()表示：在速率附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。或：分子速率出现在附近的单位速率区间内的概率概率密度。

—在速率区间—+d内的分子数占总分子数的百分比。352.麦克斯韦速率分布曲线

(a)速率分布特征：速率可取0—内的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。

(b)曲线有一个最大值，对应的速率为—最可几(概然)速率f()op36(c)曲线下面积的物理意义

—在速率区间1—2

内的分子数占总分子数的百分比。12f()od最可几(概然)速率的物理意义是：在温度T的平衡态下，速率在p附近单位速率区间内的分子数最多。

dN=Nf()d37of()d整个曲线下的面积,即这一关系式称为分布函数f()的归一化条件。归一化条件的物理意义是：分子速率分布在0—间的概率是1。38二.三种统计速率由极值条件df()/d=0，得1.最可几(概然)速率p—与分布函数

f()的极大值对应的速率。f()op39速率区间1—2内的分子数:例7.4.1求速率区间1—2

内分子的平均速率。

解速率区间—+d内的分子数:

dN=Nf()d速率区间—+d内的分子速率之和:

dN=Nf()d速率区间1—2内分子速率之和:12f()od40速率区间0—内分子(全体分子)的平均速率为完成积分，求得平均速率为

2.平均速率

于是速率区间1—2

内分子的平均速率为413.方均根速率

2=于是方均根速率为2242nf()d—表示单位体积中，速率在—+d内的分子数。

(2)写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数的百分比：

=42.9%例7.4.2(1)nf()d的物理意义是什么？(n是分子的数密度)f()opd43(m/s)f()o10004000例7.4.3(1)图中是同温度下，H2和O2

的

麦克斯韦速率分布曲线，由图可知，H2的最可几速率p=m/s;O2的p=m/s。4000100044答：同温度下，H2比O2分子的速率普遍要大一些，速率分布普遍向右移，但因曲线下总面积(为1)是不变的，因此分布曲线在宽度增大的同时，高度就要降低，整个曲线显得较为平坦些。(2)同温度下，为什么H2的比O2的麦克斯韦速率分布曲线高度要低一些？(m/s)f()o100045222=1.03kg/m3解例7.4.4某气体的方均根速率=450m/s，p=7×104pa，求该气体的质量密度。2（也可用反推）46oof()解(1)由归一化条件:例7.4.5假定N个粒子的速率分布函数为

求(1)归一化常数C;(2)处在f()>的粒子数。C247oof()>C2N所以f()>的粒子数:C2(2)处在f()>的粒子数:C248§7.5玻耳兹曼分布定律1.玻耳兹曼能量分布律式中:no表示势能EP为零处单位体积中的分子数，E=Ek+Ep是分子的总能。特点：几率因子决定着分子的分布。在温度为T的平衡态下，气体分子处在坐标区间(xx+dx,yy+dy,zz+dz)和速度区间(xx+dx,yy+dy,

zz+dz)内的分子数为对比49由于E2>E1,所以N2<N1。即：通常温度的平衡态下，处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说，按统计分布来看，分子总是优先占据能量较低的状态。这叫正常分布。

设处于能态E1,E2(E1<E2)上的分子数分别为N1，N2，根据玻耳兹曼分布律，有50例

对H原子：（n=1,2,3,）按量子理论，原子能级是分立的。（取室温T=300K）即在室温的平衡态下，原子基本都处于基态，而处于激发态的极少。提高温度→激发态增多→跃迁增多→辐射（光）51+

坐标区间(xx+dx,yy+dy,zz+dz)内的分