第五章晶体中的电子状态5.3

能量算符和平移算符具有共同的本征函数平移算符彼此对易平移算符和能量算符对易周期势场模型下的晶体中，电子波函数为：周期势场中的电子的运动状态：∴平移算符的本征值是波矢k的周期函数:k=2π/a平移算符的本征值及其物理意义——原胞之间电子波函数位相的变化（2）平移算符本征值量子数简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同（1）简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值（3）近似条件：周期势场随位置的变化很小，引起的电子势能比动能小，这种情况下采取“准自由电子”近似法，用微扰来处理。5.3准自由电子近似法1.零级近似零级近似的波动方程：一.一维情形（非简并态）零级近似微扰零级近似的解为恒定场V中的自由粒子的解，即本征函数和本征值：L=Na,N为原胞数k为本征值的量子数零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似2微扰计算

根据微扰理论：本征值的一级修正：本征值的二级修正：波函数一级修正：’求解矩阵元因为V(x)晶格的周期性，所以对整个晶格的积分可以化为对每个原胞积分的和。第n个原胞：∵k和k’正交∴按元胞划分对不同元胞n引入积分变数(1)对应周期场V（x）的傅立叶展开得到的第n个系数(2)一维倒格矢一级修正得到的电子函数表现出了具有类似于布洛赫函数的形式：由自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数考虑微扰后的波函数(k-k’=n2π/a)当x变化a的整数倍的时候，波函数的值不变考虑微扰后的能量（k-k’=n2π/a）：但是，当利用非简并态的微扰理论得到的能量二级修正在nπ/a附近发散，此时应采用简并微扰。由于修正项一般较小，所以色散关系接近抛物线形式对称分布在布里渊区边界总结上述，在非简并情况下，利用一般微扰论得到，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：若要两个表达式有意义，级数应该收敛，那么：说明：（1）|Vn|=|<k’|ΔV|k>|要小，即微扰矩阵元要小；（2）|Ek–Ek’|要大，即能级间距要宽。3.简并微扰计算（k=nπ/a

，

k’=-nπ/a

）将能量简并的各状态线性组合构成成新波函数作为零级近似Ψ0，代入波动方程：满足本征方程：其中取：Ｏ带入波动方程讨论：(设)离较远(1)将能量按展开：Ｏ只考虑了在微扰中简并态之间的的相互影响使原来能量较高的态能量提高，原来能量较低的态能量降低。但修正项较小，所以能量改变不明显，能量曲线接近抛物线。(2)即接近时当时将按展开：（2）而不能取两者之间的值。其能量不连续间隔为：当k＝nπ/a，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，产生突变，使准连续的能级分裂成一系列的带，即能带。4.布里渊区、能带和能隙b.在准自由电子模型中，由于周期势场的微扰作用，波函数具有布洛赫函数的形式，能量有所修正：a.在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢呈抛物线型

，而波函数则是平面波形式。当k不在nπ/a附近，能量修正较小；当k在nπ/a附近，能量修正值较大；c.各能带之间的间隔为“带隙”或“能隙”或“禁带”，能隙大小为2┃Vn┃，在能隙中不存在能级，每个带大小为一个倒格子原胞长度即2π/a，包含等于晶体原胞数目N的量子态。d.每一个能量连续区域称为布里渊区。当N很大的时候，k取值密集，可以看成能量准连续。带3带2扩展布里渊区带1第一布里渊区带1第二布里渊区第三布里渊区带2带3V(x)变化越剧烈，Vn越大，能隙越宽。简单验证：每一个能带所占的k空间为一个布里渊区：每一个能带中k取值可能数每一个能带包含个量子态考虑自旋e.每个能带包含2N个量子态的取值：相邻k取值间隔：每一个能带中的状态数：N考虑电子波波矢的周期性，将各个布里渊区平移，合并到第一布里渊区，得到简约布里渊区；将简约布里渊区图形按周期展开，得到周期布里渊区；带3带2带1周期布里渊区简约布里渊区扩展布里渊区二.三维情形1.零级近似其中：2.微扰计算其中(倒格矢)有能量跳跃：当或时，从原点出发与Gn的连线的垂直平分面方程o3.布里渊区和能带交叠a.布里渊区——在空间，原点与所有倒格点连线的垂直平分面将空间分割成的各个区域；在布里渊区内，能量准连续变化；每个布里渊区的大小为：空间的维数每个布里渊区(对应一个能带)所包含电子态数：2N在布里渊区边界处，能量发生突变；以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布大小第一布里渊区第二布里渊区大小每个布里渊区的体积相同原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体简单立方的第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方晶体的第一布里渊区原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——八个面是正六边形，六个面是正四边形面心立方晶体的第一布里渊区简立方面心立方体心立方一区二区三区b.能带交叠：不同能带在能量上不能完全分隔开，能带间（主要是相邻能带）发生交叠现象。这是三维与一维的一个重要区别。说明：B是第二布里渊区能量最低点，与第一布里渊区边界点A相邻，但能量是断开的，C是第一布里渊区能量最高点，且,此时发生能带1与能带2的交叠现象。带2带1EE沿OA方向BAkCk沿OC方向3.2质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于和，并且最近邻的间距1)求出色散关系和分析计算处格波的2)大致画出色散关系图

绿色标记的原子位于2n-1，

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