定积分的换元法

定积分的换元法第一页，共三十七页，2022年，8月28日先来看一个例子例1换元求不定积分令则故第二页，共三十七页，2022年，8月28日为去掉根号令则当x从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分第三页，共三十七页，2022年，8月28日将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量第四页，共三十七页，2022年，8月28日一、换元公式第五页，共三十七页，2022年，8月28日证第六页，共三十七页，2022年，8月28日第七页，共三十七页，2022年，8月28日应用换元公式时应注意:（1）（2）第八页，共三十七页，2022年，8月28日计算解1由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2故o例2第九页，共三十七页，2022年，8月28日令解4令仍可得到上述结果解3第十页，共三十七页，2022年，8月28日解令例3计算第十一页，共三十七页，2022年，8月28日定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把x换成

t，t换成

x这说明可用引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注第十二页，共三十七页，2022年，8月28日例4计算解第十三页，共三十七页，2022年，8月28日例5计算解原式第十四页，共三十七页，2022年，8月28日例6计算解一令原式第十五页，共三十七页，2022年，8月28日解二接解一对令则第十六页，共三十七页，2022年，8月28日证第十七页，共三十七页，2022年，8月28日即：奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第十八页，共三十七页，2022年，8月28日例8计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积第十九页，共三十七页，2022年，8月28日第二十页，共三十七页，2022年，8月28日（1）设（2）设证第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日另证将上式改写为奇函数第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日例10设f(x)是以L为周期的连续函数，证明证明与a的值无关第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日例11设f(x)连续，常数a>0证明证明比较等式两边的被积函数知，第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日例12设f(x)连续解第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式

二、小结第三十页，共三十七页，2022年，8月28日思考题解令第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日练习题第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日第三十四页，共三十七页，20