概率论与随机过程第1章4-5节(v15)

§4条件概率(一)在有些问题研究中，有时还需要知道在“事件A发生的条件下，事件B发生的概率。”其称为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”,记为P(B|A)。一般P(B|A)≠P(B).例如:某产品一盒共10只，已知其中有3只次品，从中取2次，每次任取一只，作不放回抽取，试求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。

解:

设A：第一次取到次品；

B：第二次取到次品。第一次取走一只次品后，盒中还剩下9只产品，其中只有2个次品，故又，且

故从样本空间分析：第一次抽取时的样本空间

当A发生后，S缩减为

由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间上计算的。问题:

应该如何来定义和计算条件概率呢?可想的方法:由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否可从此着手研究该问题?事件A发生的条件下事件B发生的频率：

设事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，并设n次试验中，其中A，AB事件分别出现nA，nAB次，故在“事件A发生的条件下事件B发生的频率”为:条件概率定义:

设A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)>0，则称

为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、可列可加性三条件?P(B|A)计算的两种方法:

1)在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生的概率P(B/A)；

2)在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算例1:

设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少?解:按题意,即求P(W/N)=?1)在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。类型W(白)R(红)共计N(新)403070O(旧)201030共计60401002)用公式求解:P(W/N)=P(WN)/P(N)=(二)条件概率的三定理1.概率的乘法定理:

设A、B∈S，P（A）>0,则

P(AB)＝P(A)P(B|A)。

可推广到三个事件的情形：

A、B、C∈S，P（AB）>0，则有

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：P(A1…An－1)>0，则有

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。例2:袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。法2(古典）:解：设Ai为第i次取球时取到白球，则例3：一批灯泡共100只，次品率为10％，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。法2:解：设Ai

={第i次取得合格品}，i=1，2，3。显然，

P{第三次才取得合格品}=例4(补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求在这几个回合中：(1)甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概率。解：设事件A={甲机被击落}，事件B={乙机被击落}，

事件Ai={第i回合射击成功}，i=1,2,3。则由乘法定理可有:2.全概率公式样本空间的划分定义:

设S为随机试验E的样本空间，

B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若则称B1，B2，…，Bn

(n可为)

为样本空间S的一个划分。

样本空间的划分可构造的条件:

一次试验E，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个事件发生。全概率公式:

设试验E的样本空间为S，B1，B2，…,Bn是S的一个划分，且P(Bi)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件AS有

证：且由概率和与乘法定理可得：*

全概率公式可由以下框图表示： 设P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,…,n

易知：SP1P2Pn...B2B1Bn...q2q1qnA例5:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解：设：B：买到一件次品;A1:买到一件甲厂的产品;A2:买到一件乙厂的产品;A3:买到一件丙厂的产品。例6:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；

A2——从甲袋放入乙袋的是红球；

B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙3.贝叶斯公式定理：设试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn是S的一个划分，且P(Bi)>0,i＝1,2,…,n。对于任何事件AS，P(A)>0，则有贝叶斯公式：证：由条件概率可得：

由全概率公式可得：故有贝叶斯公式：

例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；

(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。

解：设A={甲出差}，B={乙出差}

设试验只可能出现H1,H2,…,Hn有穷或可列多个不同的情况，而事件A只能伴随这些情况发生。试在A事件发生的条件下，Hk发生的条件概率。贝叶斯公式通常用于下列问题中:例7:设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件A″此球为白球″的条件下，求H1″此球属于甲箱″的条件概率P(H1/A)。解:设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。，且，

由全概率公式可得：由贝叶斯公式可得：

例8(补充)：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1，0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：

(1)顾客买下这箱玻璃杯的概率p；

(2)在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率q。

解：设B={顾客买下所查看的一箱玻璃杯}，

Ai={箱中恰好有i件残次品}，i=0，1，2，由题设知：

(1)由全概率公式

(2)由贝叶斯公式

例9:

数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发射端发的是0的概率是多少?解：设A---发射端发射“0”，

B---接收端接收到一个“1”的信号。例10(补充):某制帽厂生产的帽子合格率为0.8。一盒中装有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：(1)每盒帽子被买下的概率p；(2)在采购员买下的一盒中都是合格品的概率q。例解：设B={一盒帽子被买下}，

Ai={一盒帽子中有i顶合格}，

i=0,1,2,3,4，由题设知：(1)由全概率公式

(2)由贝叶斯公式

全概率公式与Bayes公式定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若：则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。

定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称： 为全概率公式B1B2BnSA

证明：

定理：接上定理条件，

称此式为Bayes公式。亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）。三门问题（MontyHallproblem）玛丽莲·沃斯·莎凡特（MarilynvosSavant）这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

明确的限制条件如下：

参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。

主持人知道每扇门后面有什么。

主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。

主持人永远都会挑一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。

参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、A羊和B羊，转换后的获胜概率为2/3。解1：由于只需考虑换门(A)和中车(B)这两个事件，故对全体样本Ω作如下设定：

1.第一次选羊a，换，中

;

2.第一次选羊b，换，中

3.第一次选羊a，不换，不中

;

4.第一次选羊b，不换，不中

5.第一次选车，换，不中

;

6.第一次选车，不换，中

从而按照B1（中）,B2（不中）的划分为

B1，中，P(B1)=½概率

B2，不中，P(B2)=½概率

（注意是在已经打开一扇门二选一的前提下）嘉宾换门（A）这一事件发生的条件下，抽中车（B1）的概率。

P(B1/A)=?例(补充)：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好概率是多少？

解：设A={产品合格}，

B={机器调整良好}作业：将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是B，问原发信息是A的概率是多少？§6独立性

例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽样时，放回抽样时，

即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响§5事件的独立性定理一：设A、B是两事件，且P(A)＞0。若A，B相互独立，则P(B/A)=P(B)。反之亦然。

定义：设A、B是两事件，若满足

P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立，简称A，B独立。注意：若P(A)＞0，P(B)＞0，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。

定理二：若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互独立

与，与，与。

多个事件的独立性

若三个事件

A、B、C满足：

(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

则称事件A、B、C两两相互独立；

若在此基础上还满足：

(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

则称事件A、B、C相互独立。一般，设A1,A2,…,An是n个事件，若对于其中任意2个，3个，…，n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。

注意：含义：事件相互独立,

它们中一个已经发生，不影响另一个发生的概率。

A,B两时间之间没有关联或者关联很微弱，就可以认为是相互独立的。事件独立性的应用1、简化运算：若事件A1，A2，…，An相互独立,则