微积分 第六章 定积分

第一节定积分的概念第二节微积分基本公式第三节定积分的积分方法第四节广义积分第六章定积分

一、定积分的实际背景

二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质第一节定积分的概念

第一节定积分的概念

1.曲边梯形的面积

曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.yOMPQNBxCAA推广为一、定积分的实际背景

曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：

0x1x2xxn

Oxy

y=f(x)0x=axn=b2．变速直线运动的路程

二、定积分的概念

三、定积分的几何意义四、定积分的性质仍有思考题

一、变上限的定积分二、牛顿-莱布尼茨

（Newton-Leibniz）公式

第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式

一、变上限的定积分如右图所示:例2求下列函数的导数：

二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

例1求定积分：

思考题

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法

第三节定积分的积分方法第三节定积分的积分方法一、定积分的换元积分法注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.

二、定积分的分部积分法一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分

第四节广义积分第四节广义积分一、无穷区间上的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分第六章定积分一、本章提要1.基本概念定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分.2．基本公式牛顿-莱布尼茨公式.3．基本方法(1).积分上限函数的求导方法，(2).直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法(3).借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，(4).两类广义积分的计算方法.4．定理定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理

二、要点解析问题1应用换元积分法计算定积分时应注意什么问题？

解析换元积分法包括第一换元法与第二换元法，具体应用时应注意如下3点：（1）应用第一换元法（凑微分法）时，一般不需引入新的积分变量，所以积分限不变.（2）应用第二换元法时，由于必须引入新的积分变量，所以，换元必换限.（3）所作代换必须满足换元法中所限定的条件.，

例1计算定积分

解一令,则且时,时,.所以

．

；

解二令，则且

时

时，，所以．问题2被积分函数中含绝对值符号时，应如计算定积分？解析当被积函数中含绝对值符号时，被积函数一般在积分区间上为分段函数，计算分段函数的定积分必须分段积分.例2计算

.解

=三、例题精解例3比较

与的大小.解一令，因为所以，当时,

则当时,

所以在又因为在[1，2]上连续,

上单增.

，即所以

解二因为=

所以

例4证明

,

证令则且当时，当时，.于是=

==

例5求

解

（C为常数）练习题判断正误(