jwj-53应力与应变分析

第五章应力与应变分析第四节三向应力状态下的最大应力第四节三向应力状态下的最大应力1、三向应力状态的应力圆如图所示三向应力状态的主单元体

考察图示的三棱柱体，斜面与前后面向垂直。平行于s3的各斜面上的应力，仅与s1和s2有关，则可由s1和s2所确定的应力圆上的相应点的坐标来表示。同理单元体内与s1平行的各斜面上的应力可由s3和s2所作的应力圆上的坐标表示，单元体内与s2平行的各斜面上的应力可由s1和s3所作的应力圆上的坐标表示。1、三向应力状态的应力圆研究表明:对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在s-t

坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。第四节三向应力状态下的最大应力第四节三向应力状态下的最大应力2、三向应力状态的最大切应力

最大切应力τmax所在平面与σ1和σ3作用的两个主平面夹角为45º第四节三向应力状态下的最大应力例用图解法求图示单元体的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）,并作三向应力圆。第四节三向应力状态下的最大应力易知，单元体z平面为主平面。-30MPa应为三个主应力之一。在s-t坐标系中可得到其点C。考虑x-y平面D(120,-30)D'(40,30)画出应力圆可得到三个主应力和最大切应力第五节广义胡克定律第五章应力与应变分析第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导

前面谈到的胡克定律:单向拉伸条件下杆件产生横向应变:纯剪切情况下:最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:根据切应力互等定理则独立的应力分量只有六个。第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导

对于各向同性材料:

小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。

利用叠加法可求得各方向上的线应变。第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导

=++++第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导

利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，

与正应力无关，因此:以上被称为广义胡克定律。第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导

当单元体的周围六个面皆为主平面时:e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。第五节广义胡克定律例

用电阻应变仪测得图示受扭的圆轴表面上任意两个成45°角方向的应变值:e'=3.25×10-4，e''=-5.63×10-4。已知E=200GPa,n=0.3,d=10cm,求力矩M。第五节广义胡克定律此问题是一个纯剪切的问题，先考虑纯剪切的一般情况。

画出纯剪切的应力圆:取一个任意角度的单元体:由图可得:根据广义胡克定律:第五节广义胡克定律根据题意：在应力圆上标出:第五节广义胡克定律2、体积应变与体积模量

当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，如图所示:变形前的体积:变形后边长变化为:体积变化为:略去高阶微量:第五节广义胡克定律2、体积应变与体积模量

单位体积的改变或体积应变为:体积应力：体积模量第六节

平面应变状态分析第五章应力与应变分析第五章应力与应变分析第七节

复杂应力状态下的应变比能第五章应力与应变分析第七节复杂应力状态下的应变比能物体在外力作用下发生弹性变形，外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。

这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为弹性变形能。

若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形能的大小。

第七节复杂应力状态下的应变比能外力F作用是缓慢加载，F-DL关系符合胡克定律，呈线性关系当加载至F，变形为DL时，外力作功为图示的阴影部分面积。外力作功:变形能:将上式除以杆的体积Alu比能或变形能密度克拉贝依隆原理：线弹性体的应变能等于每一个外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。第七节复杂应力状态下的应变比能三向应力状态下比能的计算公式：代入广义胡克定律:第七节复杂应力状态下的应变比能物体的变形可以分成两个部分:1、体积改变2、形状改变。将三向应力状态的主单元体分为两组:=+第七节复杂应力状态下的应变比能第一组应力sm为体积应力，在它的作用下单元体沿各方向均匀变形，无形状变化。由此引起的变形比能，称为体积改变比能。由广义胡克定律解出em代入比能公式，并简化得第七节复杂应力状态下的应变比能第二组应力下单元体体积的改变量为0