高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试 微课

2．圆与圆的位置关系“……把你的心、我的心串一串，串一株幸运草，串一个同心圆……”这是风靡一时的小虎队在一首歌中唱到的．那么你知道数学上是怎样理解同心圆的吗？两个同心圆是什么位置关系？设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.1．(1)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；(2)当d＝r1＋r2时，两圆外切；(3)当d＝|r1－r2|时，两圆内切；(4)当d＞r1＋r2时，两圆外离；(5)当d＜|r1－r2|时，两圆内含．2．(1)若⊙O1与⊙O2外离，两圆的公切线有四条；(2)若⊙O1与⊙O2外切，两圆的公切线有三条；(3)若⊙O1与⊙O2内切，两圆的公切线有一条；(4)若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公切线有二条．3．若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公共弦的垂直平分线方程就是直线O1O2．4．已知⊙O1与⊙O2无交点，P、Q分别是⊙O1、⊙O2上的两点，则PQ的最大值为d＋r1＋r2，PQ的最小值为d－(r1＋r2)．5．已知⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0是相交的两圆，则⊙O1与⊙O2的公共弦的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．一、圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系有五种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．(2)判定圆C1和圆C2位置关系的主要方法．方法一(代数方法)：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．方法二(几何方法)：依据圆心距d与半径r1和r2之间的关系判断．①当d＞r1＋r2时，两圆外离；②当d＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；④当d＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当d＜|r1－r2|时，两圆内含．二、两圆位置关系的特征位置关系几何特征代数特征外离d＞R＋r无实数解外切d＝R＋r一组实数解相交R－r＜d＜R＋r两组实数解内切d＝R－r一组实数解内含d＜R－r无实数解知识点一圆与圆的位置关系1．(2023·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(C)A．21B．19C．8D解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|又∵两圆外切，∴5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.2．已知0＜r＜2eq\r(2)，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心距为O1O2＝eq\r(2)，又R＝eq\r(2)，0＜r＜2eq\r(2)，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故两圆相交．答案：相交3．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.答案：(－∞，－100)4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．解析：两圆相交其交点所在的直线方程为：(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0知识点二利用圆与圆的关系确定圆的方程5．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x－1)2＋y2＝2，则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是eq\r(2).答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝26．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是________．解析：半径为1的圆内切于半径为6的圆．答案：(x±4)2＋(y－6)2＝367．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．解析：求出两圆的交点后用待定系数法；或利用圆系方程：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，又过点(3，1)代入求出λ＝－eq\f(2,5).答案：x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0知识点三两圆的公切线与公共弦8．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：39．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A、B两点，求公共弦AB的长．解析：由方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－1＝0，,x2＋y2－2x＋2y－7＝0，))消去二次项得6x－6y＋6＝0，即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－2，2)到直线AB的距离d＝eq\f(|－2－2＋1|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2)).又圆C1半径r＝3，故弦长AB＝2eq\r(32－\f(32,2))＝3eq\r(2).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一与圆有关的最值问题10．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，∴2m＋2n－4＝0，m＋n∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.答案：111．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1关于x轴的对称圆C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.∴A(－1，1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离AC′＝5.∴从A发出的光线经x轴反射到圆C上一点的最短距离等于A到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即dmin＝5－1＝4.答案：412．过直线x＝2上一点M向以C为圆心的圆(x＋5)2＋(y－1)2＝1作切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为________．解析：易知SMACB＝2S△MAC＝MA·AC＝eq\r(MC2－1).显然MC的最小值为7，故四边形MACB的面积的最小值为eq\r(49－1)＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)综合点二圆的位置关系及其应用13．求圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距的最小值及相应的k值，并指出此时两圆的位置关系．解析：两圆的圆心C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，∴圆心距C1C2＝eq\r(k2＋（k＋1）2)＝eq\r(2k2＋2k＋1)，当k＝－eq\f(1,2)时，C1C2有最小值eq\f(\r(2),2).此时，两圆的方程为C1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝1，C2：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知两圆相交．14．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，集合B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}．若A∩B中有且仅有一个元素，求r的值．解析：∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆C1：x2＋y2＝4与圆C2∶(x－3)2＋(y－4)2＝r2外切或内切．又∵圆心距C1C2＝5，∴r综合点三轨迹与证明问题15．已知两定圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．解析：设动圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.将此方程分别与圆O1，圆O2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x＋(2－2b