高数 大一 下册期末考试复习试卷

高等数学A2试卷（A卷）适用专业：全校本科一年级题号一二三四五六七八九十总分评分阅卷人一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.1、过点且与平面平行的平面方程是（）A.B.C.D.2、直线与平面的位置关系是（）A.相交但不垂直B.直线在平面内C.平行D.垂直3、函数的极小值点为（）A.B.C.D.4、级数的收敛性是()A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定5、二次积分的次序可以转化为（）A.B.C.D.设，是长方体的整个表面的外侧，则（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.1、函数的全微分.2、函数在点处由点到点方向的方向导数为.3、设，而，，则.4、微分方程的通解是.5、周期为的函数在的表达式为，它的傅里叶（Fourier）展开式中系数=.6、对弧长的曲线积分，其中是圆周，.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）.1、已知微分方程，（1）求出的通解；（2）求出满足，的特解.2、设，求3、求曲线在点处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分，其中是由三条坐标平面及平面所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分，其中为上半圆周，沿逆时针方向.6、已知幂级数，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面和锥面所围成立体的体积.高等数学A2试卷（A卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1.A2.D3.B4.B5.C6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1.2.3.4.5.或6.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程满足初值条件，的特解。.解：由题可得特征方程为：，可得:.----------------3分该方程的通解为：由初值条件：，得：，.-----------------6分故该方程的特解为：-----------------8分2、设，求。解：由-------------2分可得：，--------------5分则有：，故：------------------8分3、求曲线在点处的切线方程和法平面方程。解：由题可知：，曲线在点处的切向量为：-------------------4分则该点处的切线方程为：---------------------6分该点处的法平面方程为：或--------------------8分4、计算三重积分，其中是由三条坐标平面及平面所围成的闭区域解：积分区域为时，-----------------2分------------------8分5、利用格林公式，计算曲线积分，其中为上半圆，沿逆时针方向。解：设为和OA所围成的半圆形闭区域，则由格林公式，--------6分故----------------8分6、求幂级数的和函数。解：根据比值审敛法，当时，即时级数收敛，当时，即时级数发散，故其收敛半径当时，级数发散，当时，级数发散，故该级数的收敛域为，假设幂级数的和函数为，则-----------------4分上式两端分别从至积分，并注意到在处收敛于，故得又原级数在处均发散，故它的和函数----------8分四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。解:设球面方程为，是它内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为：，，，体积为令-----------------3分由即---------------------------4分解得代入，得，故为唯一的极值点，由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为时，其体积最大。----------------------8分2、利用三重积分计算曲面和曲面所围成立体的体积。解：由和消去，解得，即在面上的投影区域为.于是-----------------3分因此--------------------8分高等数学A2试卷（B卷）适用专业：全校本科一年级（除财务管理专业和中德合作班）题号一二三四五六七八九十总分评分阅卷人一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1、直线化为对称式（点向式）方程是（）.A.B.C.D.2、已知两点和，与同方向的单位向量是（）.A.B.C.D.3、点是函数的（）.A.极大值点B.极小值点C.不是极值点D.无法判断4、若级数在时收敛，则在时该级数().A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定5、把积分化为极坐标形式是（）.A.B.C.D.6、设，是球面的外侧，利用高斯定理计算（）.A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）7、函数的全微分.8、函数在点处方向导数达到最大的方向是.9、设，则.10、微分方程的通解是.11、对弧长的曲线积分，其中是半圆和轴所围成的区域的边界.12、设是周期为的函数在上的表达式，的傅里叶级数在点处收敛于.三、计算题（本题共7小题，每小题8分，共56分）13、计算（1）求出的通解；（2）求出的一个特解；（3）求出的通解.14、设，，，其中有连续的偏导数，计算15、求出曲面在点的切平面方程和法线方程.16、考察三重积分，（1）设是三个坐标面及平面所围成的闭区域，将三重积分化为直角坐标系下的三次积分；（2）设是旋转抛物面和平面所围成的闭区域，将三重积分化为柱坐标系下的三次积分.17、求抛物面介于平面和之间那部分的曲面面积.18、利用格林公式，计算曲线积分，其中是，和所围成的区域的正向边界.19、求幂级数的和函数.（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求积分、后求导）.四、应用题（本题共1小题，每小题8分，共8分）20、横断面为圆形的圆柱形张口浴桶，其表面积等于平方米，当其当底面半径和高为多少时，此浴桶有最大容积.(利用拉格朗日乘数法求解)高等数学A2试卷（B卷）参考答案及评分标准一、选择题（本题共6小题，每题3分，共18分）123456ADACBD二、填空题（本题共6小题，每空3分，共18分）7.8.9.10.11.12.三、计算题13、计算（1）求出的通解；（2）求出的一个特解；（3）求出的通解。解：（1）的特征方程为，有两不相等的实根，，所以对应的齐次方程的通解为-----3分（2）假定其特解形式是求出，，代入原方程得解之得：，，故-----6分（3）的通解为它对应的齐次方程与它的特解之和-----8分14、设，，，其中有连续的偏导数，计算解-----4分-----8分15、求出曲面在点的切平面方程和法线方程。解设，切平面的法向量是--4分故切平面方程是，即；---6分法线方程是-----8分16、考察三重积分，（1）设是三个坐标面及平面所围成的闭区域，将三重积分化为直角坐标系下的三次积分；（2）设是旋转抛物面和平面所围成的闭区域，将三重积分化为柱坐标系下的三次积分。解（1）将投影在面上，得，又，故-----4分（2）将投影在面上，得柱坐标系下，又故-----8分17、求抛物面介于平面和之间那部分的曲面面积。解投影在面上，得-----3分曲面面积是-----8分18、利用格林公式，计算曲线积分，其中是，和所围成的区域的正向边界。解，-----3分-----8分19、求幂级数的和函数。（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求积分、后求导）；解（1）收敛半径，端点处发散，端点处也发散，收敛域是.-----4分（2）设和函数为S(x)即则-----8分四、应用题（本题共1小题，每小题8分，共8分）20、横断面为圆形的圆柱形张口浴桶，其表面积等于平方米，当其尺寸怎样设计时，此盆有最大容积。解设横断面为圆形的圆柱形张口浴桶底面半径是，高是，则表面积是，即，容积构造L—函数：-----4分求解方程组：得唯一驻点由于驻点唯一，且