高中数学北师大版3第一章计数原理 第1章2

第一章§2第1课时一、选择题1．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：B2．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的种数为()A．Aeq\o\al(6,6) B．3Aeq\o\al(3,3)C．Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3) D．4！·3!解析：先将甲、乙、丙3人看作一个整体与另外3人作一个全排列，其排法种数为4！，而甲、乙、丙3人之间还可以作一个全排列，其排法种数为3！，∴N＝4！·3！.答案：D3．下列问题：①从1,2,3,5中任取两个不同的数相减可得多少种不同的结果？②从1,2,3,5中任取两个不同的数相乘可得多少种不同的结果？③一条公路线上有12个车站，共需准备多少种客车票？其中是排列问题的有()A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：由排列的定义可知①③是排列问题，②与顺序无关，不是排列问题，故选B．答案：B4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有()A．108种 B．186种C．216种 D．270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，得合理的选派方案有Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186种．选B．答案：B二、填空题5．若eq\f(A\o\al(7,n)－A\o\al(5,n),A\o\al(5,n))＝89，则n＝____________.解析：由题设得eq\f(n！,n－7！)－eq\f(n！,n－5！)＝89×eq\f(n！,n－5！)，∴(n－5)(n－6)＝90，n∈N＋，解之得n＝15.答案：156．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为____________.解析：若组成的是无重复数字的四位偶数，则个位必须是偶数，有Aeq\o\al(1,2)＝2(种)情况，其他位置无限制条件，共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24(种)情况，所以共有2×24＝48(种)情况．答案：48三、解答题7．(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解析：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．8．(1)计算eq\f(4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))；(2)解方程：5Aeq\o\al(x,4)＝6Aeq\o\al(x－1,5).解析：(1)方法一：原式＝eq\f(4A\o\al(4,8)＋2×4A\o\al(4,8),4×3×2A\o\al(4,8)－9A\o\al(4,8))＝eq\f(4＋8,24－9)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).方法二：原式＝eq\f(4×8×7×6×5＋2×8×7×6×5×4,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(4＋2×4,4×3×2×1－9)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).(2)由5Aeq\o\al(x,4)＝6Aeq\o\al(x－1,5)得eq\f(5×4！,4－x！)＝eq\f(6×5！,6－x！)，化简得：x2－11x＋24＝0，解得x1＝3，x2＝8，∵x≤4且x－1≤5，∴原方程的解为x＝3.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(1)解不等式：Aeq\o\al(m＋2,8)＜6Aeq\o\al(m,8).(2)求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).解析：(1)原不等式可化为eq\f(8！,8－m－2！)＜eq\f(6·8！,8－m！)，化简得m2－15m即(m－5)(m－10)＜0，解得5＜m＜10.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2≤8,m≤8))，即m≤6，所以m＝6.即不等式的解集为{6}．(2)证明：∵Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)－eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n－m＋1)－1))＝eq\f(n！,n－m)·eq\f(m,n－m＋1)＝m·