2022年度湖南省娄底市涟源财溪乡中学高三数学文模拟试题含解析

2022年度湖南省娄底市涟源财溪乡中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，恒成立，则△ABC的形状一定是

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：B根据遇模平方，恒成立可以转化为:

由余弦定理得:由正弦定理得:.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正余弦定理以及推理论证能力,是难题.

2.已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+?=0有实根，∴||2﹣4≥0，∴≤，∴cos＜＞=≤=，又0≤＜＞≤π，∴＜＞≤π．故选B．3.在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±3参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可知，，可求【解答】解：∵a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1∴a3=±1当a3=﹣1时，=﹣9不合题意∴a3=1故选A4..若，，=（

）A．B B．A C． D．Z参考答案：C略5.若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=﹣1，y=2代入直线方程得：﹣2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离d=，∴点（a，b）向圆C所作切线长l====≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，最小值为4．故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出a与b的关系式是本题的突破点．6.已知是等比数列的前项和，如果，，且，则A．B．C．D．参考答案：C7.四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知z=ai（a∈R），（1+z）（1+i）是实数，则|z+2|=（）A． B． C．3 D．5参考答案：B【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=ai（a∈R），且（1+z）（1+i）是实数，∴（1+ai）（1+i）=（1﹣a）+（1+a）i是实数，则a=﹣1，∴|z+2|=|2﹣i|=．故选：B．9.复数（i为虚数单位)的虚部为(A)(B)(C)-(D)参考答案：C略10.已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为.若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为等差数列，公差为，且是与的等比中项，是的前项和，则的值为_____.参考答案：【知识点】等差数列【试题解析】由题知：解得：

所以12.一个几何体的三视图如图所示（俯视图中的正方形边长为2)，则该几何体的体积为

▲.参考答案：2π由三视图可知该几何体是由一个底面直径为2，高为2的圆柱，沿轴截面的对角线切成全等的两部分后拼接而成，故该几何体的体积为2π.13.参考答案：14.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．参考答案：【考点】球内接多面体．【分析】过AC作外接球截面，当截面圆最小时，球心到截面的距离最大，即可得出结论．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，∴正方体的棱长为1，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，球心到截面的距离最大为，其半径为．故答案为．15.已知的展开式中前三项的系数成等差数列,则=

.参考答案：8略16.已知点是双曲线(,)的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．参考答案：略17.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分)在直角坐标系中椭圆：的左、右焦点分别为、。其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且。（I）求的方程；（II）平面上的点满足，直线∥，且与交于、两点，若，求直线的方程。

参考答案：解：（I）由：知。

设，在上，因为，所以，解得，

在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，

解得

（不合题意，舍去）。

故椭圆的方程为。

-------------6分（II）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为∥，所以与的斜率相同，故的斜率。设的方程为。由

。设，，所以，。因为，所以，∴∴

。此时，故所求直线的方程为或。

-------------14分19.（本小题满分13分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意得

…2分解得或

…4分

所以由等差数列通项公式可得，或.故，或.

…6分（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；…7分当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.故

…9分

记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，

.当时，满足此式.…12分综上，

…13分20.已知，是椭圆的焦点，点是椭圆上一点。（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积取得最大值时，直线的方程。参考答案：：（1）由题意可得，即有，解得所以椭圆的方程为.

…………4分（2）法一：若存在，设直线的方程为，代人得设，则有.

…………6分到直线距离，

…………8分所以，当且仅当，即时有最大值，

…………10分此时直线方程为或。

…………11分若不存在，即轴，此时（舍）综上：直线方程为或

…………12分法二：设直线的方程为，代人得

…………6分

设，则有.

…………7分

所以，.

…………10分当且仅当即时等号成立，

………11分所以当面积取得最大值时，直线方程为或。…………12分21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），=0，=0，∴PD⊥AB，PD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，