湖南省株洲市朱亭镇黄龙中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

湖南省株洲市朱亭镇黄龙中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，是真命题的是（）A．?x∈R，sinx+cosx＞ B．若0＜ab＜1，则b＜C．若x2=|x|，则x=±1 D．若m2+=0，则m=n=0参考答案： D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】A，sinx+cosx=；B，若a＜0时，则b＞；C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0；D，m2、均为非负数，则m=n=0．【解答】解：对于A，sinx+cosx=，故错；对于B，若a＜0时，则b＞，故错；对于C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0，故错；对于D，m2+=0中m2、均为非负数，则m=n=0，故正确．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．2.数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，这个小组的平均分是（

）A．97.2

B．87.29

C．92.32

D．82.86参考答案：B略3.平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．4.将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B5.△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为（）A． B．1 C． D．2参考答案：D【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题．【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积．【解答】解：∵OA=1，OB=2，∠ACB=45°∴原图形中两直角边长分别为2，2，因此，Rt△ACB的面积为S==2故答案为：D【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题．6.已知直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞） D．（9，+∞）参考答案：C【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用直线2kx﹣y+1=0恒过的定点在椭圆内或椭圆上，计算即得结论．【解答】解：∵直线2kx﹣y+1=0恒过定点P（0，1），∴直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，即点P（0，1）在椭圆内或椭圆上，∴+≤1，即m≥1，又m≠9，否则是圆而非椭圆，∴1≤m＜9或m＞9，故选：C．7.函数f(x)=log2(1?x)的图象为参考答案：A8.已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形参考答案：B略9.已知直线与椭圆（）交于,两点,椭圆右焦点为,直线与的另外一个交点为，若,若,则的离心率为（）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直，则的最小值为（

）A．12

B．

C．

D．6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___.

参考答案：0.312.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是__________。参考答案：x+2y-8=0

13.复数在复平面内对应的点位于第

象限．参考答案：四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14.在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别是CD、BC的中点，则异面直线AE、DF所成角的余弦值是

．参考答案：考点：余弦定理的应用；异面直线及其所成的角．专题：解三角形；空间角．分析：画出四面体ABCD，并设BC=4，取CF的中点为M，则∠AEM或其补角便是异面直线AE、DF所成角，这时候可以求出CM，CE，ME，而由余弦定理可以求出AM，从而在△AEM中由余弦定理即可求出cos∠AEM，这便得到异面直线AE、DF所成角的余弦值．解答： 解：如图，设BC=4，取CF中点M，连接AM，ME；∵E是CD中点；∴ME∥DF；∴∠AEM或其补角便是异面直线AE，DF所成角；则：，，，CE=2，CM=1；∴在△ACM中，由余弦定理得：AM2=CA2+CM2﹣2CA?CM?cos60°=16+1﹣4=13；∴在△AME中，由余弦定理得：cos∠AEM=；∴异面直线AE、DF所成角的余弦值是．故答案为：．点评：考查异面直线所成角的概念及其求法，清楚异面直线所成角的范围，等边三角形的中线也是高线，直角三角形边角的关系，以及余弦定理的应用．15.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的余弦值是________.参考答案：16.不等式的解集为．参考答案：[﹣3，1]【考点】其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】把变为2﹣1，然后利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依题意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化为：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]17.在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________。参考答案：54略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为.（1）曲线在P点处的切线方程；（2）求函数的极大值和极小值参考答案：解：（1）因为函数在轴上的截距为1，所以又，所以所以，故点，所以切线方程为即（2）由题意可得，令得列表如下：+0-0+增区间极大减区间极小增区间

所以函数的极大值为，

极小值为略19.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线交于两点，求的长.参考答案：(1)

（2）220.在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程．（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：（x+1）2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0），半径r=1．可得|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R．【解答】解：（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：x2+y2=﹣2x，可得（x+1）2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0），半径r=1．|MC|==3．∴|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R=1．21.如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，∵x轴?平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．22.（12分）如图所示的一个三视图中，右面是一个长方体截去一角所得多面体的直观图，它的正