湖南省衡阳市 衡山县金龙中学2022高三数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市衡山县金龙中学2022高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．2.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20π B．24π C．28π D．32π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．3.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C【知识点】函数值的意义；集合运算.

B1

A1

解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，∴B={0,2,4,6}，∴A∩B={0,2}，故选C.【思路点拨】由函数值的意义得集合A中元素，从而A∩B.4.已知，，，，则向量在向量上的投影为

（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若

，则的值为

A．5

B．4

C．

D．参考答案：B6.下列各式中，值为的是

A．

B．C．D．参考答案：D7.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

( )A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样参考答案：C8.已知集合，，则等于

A．（-∞，5） B．（-∞，2） C． （1，2） D．参考答案：C9.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：

条件

循环前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，当时，．此时应该结束循环体并输出的值为26

所以判断框应该填入的条件为：

故选C．考点：程序框图10.数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A、﹣6

B、﹣21

C、﹣12

D、21参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使f（x）＞0成立的x的取值范围为．参考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．【解答】解：根据题意，令g（x）=，又由f（x）为偶函数，则g（﹣x）==，故g（x）为偶函数，且g′（x）==，又由当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则当x＞0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=0，所以g（1）==0，且g（x）为偶函数，则有|x|＜1，解可得x∈（﹣1，0）∪（0，1）；即g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，则f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x）=，想到通过构造函数解决．12.在△ABC中，B＝60°，，则AB＋2BC的最大值为________．参考答案：13.已知锐角满足，则的最大值为_______________.参考答案：14.已知函数，则f(x)在处的切线方程为

.参考答案：切线方程为.15.已知直线和圆相交于A，B两点，当线段AB最短时直线l的方程为________.参考答案：x+3y+5=016.角终边上一点M（，），且，则=

__

；参考答案：17.已知则等于

.参考答案：-【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2由则，sin=-,tan=-,==-【思路点拨】先根据角的范围求出正切值，再求。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．参考答案：证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（圆周角定理）∴∠E=∠C（等量代换）点评：本题考查的知识点是圆周考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．解答：证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（圆周角定理）∴∠E=∠C（等量代换）点评：本题考查的知识点是圆周19.（10分）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10，是一个与n无关的常数，数列{an}的前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Tn；（2）若a1，a2，a4恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n项和为Kn．参考答案：（1）（2）Kn=．（1）∵是一个与n无关的常数，∴a1=d．又，∴a1=1，∴an=n，，∴，∴Tn=…+=…+==．（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比数列{bn}的前3项，∴．∴cn=n（﹣1）n+n×2n﹣1，记，则，Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1．Kn=．20.已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的最小值为0，回答下列问题：（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）设，（）是函数图象上的两点，且曲线在点处的切线与直线平行，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．当时，，所以在区间单调递增；当时，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上述：时，的单调递增区间是；

时，的单调递减区间是，单调递增区间是（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；当时，令，则，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．故，即当且仅当时，=0．因此，．

（ⅱ）因为，所以直线AB的斜率．依题意，可得，即．令，于是==．

由（ⅰ）知，当时，，于是，即成立．分==．由（ⅰ）知，当时，，即，于是，即成立．综上，成立．

略21.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(?2,0)，其倾斜角为?，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角?的取值范围；（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．参考答案：(Ⅰ)法一：由曲线C的极坐标方程得，又∴曲线C的直角坐标方程为，即

………....…1分∴曲线C是圆心为C(2,0)，半径为2的圆.∵直线l过点P(?2,0)，当l的斜率不存在时，l的方程为x=?2与曲线C没有公共点，…2分∴直线l的斜率存在，设直线l：，即.直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离

...........………3分解得

…...............………4分∵，∴的取值范围是

....................…………5分法二：由曲线C的极坐标方程得，又∴曲线C的直角坐标方程为，

…....................................................………1分∵直线l经过点P(?2,0)，其倾斜角为?，∴直线l的参数方程为（为参数），

……......................................……2分将代入整理得：.

.............….………3分∵直线l与曲线C有公共点，∴即或…....4分∵，∴的取值范围是.

....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为，故其参数方程为

（为参数）

.

……….............…7分∵M(x,y)为曲线C上任意一点，∴

…........8分∵，∴，因此，的取值范围是.

………….........................10分法二：设.

………….....6分由(Ⅰ)知曲线C即圆C:,依题意,圆C与直线有交点，…7分∴圆心C到直线的距离，

.........................…9分解得,即的取值范围是.

……................................................……10分22.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由．参考答案：【知识点】数列递推式；等差关系的确定．D1D2【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）λ＝4.解析：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．………………1分两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．

………………2分由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………4分（Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3