高中数学北师大版2第四章定积分 学业分层测评17

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为()\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx\i\in(a,b,)|f(x)－g(x)|dx\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,b,)[f（x）－g（x）]dx))【解析】当f(x)>g(x)时，所求面积为eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)时，所求面积为eq\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx.综上，所求面积为eq\i\in(a,b,)|f(x)－g(x)|dx.【答案】C2.由抛物线y＝x2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()\f(4,5)π \f(16,5)π\f(8,5)π \f(32,5)π【解析】V＝πeq\i\in(0,2,)(x2)2dx＝eq\f(π,5)x5eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(32,5)π.【答案】D3.如图4­3­4，阴影部分的面积是()图4­3­4\r(3) －eq\r(3)\f(32,3) \f(35,3)【解析】S＝eq\i\in(－3,1,)(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,-3))＝eq\f(32,3).【答案】C4.曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于()\f(1,3) \f(2,3) \f(4,3)【解析】函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y轴对称，故所求面积为S＝2eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).【答案】D5.由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是()π ππ π【解析】因为xy＝4，所以y＝eq\f(4,x)，V＝πeq\i\in(1,4,)y2dx＝πeq\i\in(1,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))eq\s\up12(2)dx＝16πeq\i\in(1,4,)x－2dx＝－16πx－1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝－16πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－1))＝12π.【答案】B二、填空题6.由曲线y＝eq\r(x)与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y＝eq\r(x)和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x3))得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx.【答案】eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx7.由曲线y＝eeq\f(x,2)，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】体积V＝πeq\i\in(0,1,)exdx＝π(e－1).【答案】π(e－1)8.由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________.【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x－2，))得其交点坐标为(4，2).因此y＝eq\r(x)与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,)[\r(x)－（x－2）]dx)＝eq\i\in(0,4,)(eq\r(x)－x＋2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up12(\f(3,2))－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,2)×16＋2×4＝eq\f(16,3).【答案】eq\f(16,3)三、解答题9.(2023·济宁高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图4­3­5所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为eq\f(27,4)，求a的值.图4­3­5【解】由题图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)，有eq\f(27,4)＝eq\i\in(0,－a,)[0－(x3＋ax2)]dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)＋\f(ax3,3)))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(－a,0))＝eq\f(a4,12)，所以a＝±3.又－a>0⇒a<0，得a＝－3.10.设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】如图，M为图中阴影部分.(1)图中M的面积为eq\i\in(0,1,)[(－x2＋2x)－x2]dx＝eq\i\in(0,1,)(－2x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)x3＋x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,3).(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为πeq\i\in(0,1,)[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝πeq\i\in(0,1,)(－4x3＋4x2)dx＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x4＋\f(4,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(π,3).[能力提升]1.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()\f(4,3) \f(8,3) \f(16\r(2),3)【解析】∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0，1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝eq\f(1,4)x2的图像和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S＝4－2eq\i\in(0,2,)eq\f(x2,4)dx＝4－2·eq\f(x3,12)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】C2.已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为eq\f(9,2)a3，则直线l的方程为()＝ax ＝±ax＝－ax ＝－5ax【解析】显然，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y＝kx，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝x2－2ax，))得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，所以图形面积S＝eq\i\in(0,2a＋k,)[kx－(x2－2ax)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋2a,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋k,0))＝eq\f(（k＋2a）3,2)－eq\f(（2a＋k）3,3)＝eq\f(（2a＋k）3,6).又因为S＝eq\f(9,2)a3，所以eq\f(（2a＋k）3,6)＝eq\f(9,2)a3，解得k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.故选A.【答案】A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y＝eq\r(1－x2)与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】V＝eq\i\in(－1,1,)π(1－x2)dx＝πeq\i\in(－1,1,)(1－x2)dx＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(－1,1,)1dx－\i\in(－1,1,)x2dx))＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)π.【答案】eq\f(4,3)π4.已知曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.【解】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y′＝6x2－6x－2，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6xeq\o\al(2,0)－6x0－2＝\f(y0,x0－\f(1,2))，,y0＝2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1，))解得x0＝0，于是切线l的斜率k＝－2，方程为y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－2x＋1.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x3