高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版第3章学业分层测评20

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．(填序号)①至少有一个红球；至少有一个白球；②恰有一个红球；都是白球；③至少有一个红球；都是白球；④至多有一个红球；都是红球．【解析】对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．【答案】②2．现有历史、生物、政治、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．【解析】记取到历史、生物、政治、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝，则P(B)的取值范围是________．【解析】∵A与B为互斥事件，∴P(A)＋P(B)≤1，∴P(B)≤，故P(B)的取值范围是[0,]．【答案】[0,]4．某城市2023年的空气质量状况如表所示：【导学号：11032072】污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2023年空气质量达到良或优的概率为________．【解析】设“空气质量达到优或良”为事件A，由题意可知，P(A)＝P(T≤50)＋P(50<T≤100)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)5．某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是，响第2声时被接的概率为，响第3声时被接的概率是，响第4声时被接的概率为，则电话在响第5声前被接的概率为________．【解析】由互斥事件概率公式得所求概率为P＝＋＋＋＝.【答案】6．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是eq\f(1,4)，取到方片的概率是eq\f(1,4)，则取到黑色牌的概率是________．【解析】设“取到红心”为事件A，“取到方片”为事件B，“取到红色牌”为事件C，则C＝A＋B，且A，B互斥．∴P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).而eq\o(C,\s\up6(－))表示“取到黑色牌”，所以P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).即取到黑色牌的概率为eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________．【解析】记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为，出现丙级品的概率为，则抽查一件产品，抽得正品的概率为________．【解析】记“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A，B，C彼此互斥，且A与B＋C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－－＝.【答案】二、解答题9．在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球．(1)摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率；(2)摸出的球放回袋中连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．【解】(1)记“第1次摸到红球”为事件A，“第2次摸到红球”为事件B.显然A，B为互斥事件，易知P(A)＝eq\f(1,4).下面计算P(B)．摸两次球可能出现的结果为：(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，红)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，红)、(白3，白1)、(白3，白2)、(白3，红)、(红，白1)、(红，白2)、(红，白3)，在这12种情况中，第二次摸到红球有3种情况，所以P(B)＝eq\f(1,4)，故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).(2)把第1次，第2次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的12种以外，由于放回，又会增加4种即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)．这样共有16种摸法．其中第1次摸出红球，第2次摸出不是红球的概率为P1＝eq\f(3,16).第1次摸出不是红球，第2次摸出是红球的概率为P2＝eq\f(3,16).两次都是红球的概率为P3＝eq\f(1,16).所以第1次或第2次摸出红球的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(7,16).10．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.【导学号：11032073】(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[能力提升]1．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图3­4­2为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．图3­4­2【解析】由图可知抽得一等品的概率为，抽得三等品的概率为，则抽得二等品的概率为1－－＝.【答案】2．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a，第二次出现点数记为b，则直线ax＋by＝0与直线x＋2y＋1＝0有公共点的概率为________．【解析】设“直线ax＋by＝0与直线x＋2y＋1＝0有公共点”为事件A，则eq\x\to(A)为“它们无公共点”，事件eq\x\to(A)发生，表示两直线平行，故－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2)，∴a＝1，b＝2或a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，∴P(A)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).【答案】eq\f(11,12)3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率是eq\f(5,12)，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________、________、________.【解析】从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，且彼此互斥，则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)；P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,4)4．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.【导学号：11032074】一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)123已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10,100)＝(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视