高中数学人教A版1第三章导数及其应用单元测试 市获奖

选修1-1第三章3.1.1、2一、选择题1．(2023·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为eq\x(导学号92600527)()A．Δx>0 B．Δx<0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案]D[解析]Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D.2．对于函数y＝eq\f(1,x)，当Δx＝1时，Δy的值是eq\x(导学号92600528)()A．1 B．－1C． D．不能确定[答案]D[解析]函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy必须指明在哪一点处．3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为eq\x(导学号92600529)()A．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx) B．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)[答案]A[解析]B中eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)表示函数的平均变化率．4．(2023·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是eq\x(导学号92600530)()A．－3 B．3C．6 D．－6[答案]D[解析]当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度是－6.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝eq\x(导学号92600531)()A．Δx－3 B．(Δx)2－3ΔxC．－3 D．0[答案]C[解析]f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx2－3Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx－3)＝－3.故选C.6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则eq\x(导学号92600532)()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b[答案]C[解析]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.二、填空题7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝\x(导学号92600533)[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s＝eq\f(1,2)gt2(g＝9.8m/s2)，试估计t＝3s时物体下落的瞬时速度是\x(导学号92600534)[答案]29.4m/s[解析]从3s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量：Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝(3＋Δt)2－×32＝Δt＋(Δt)2，从而，eq\f(Δs,Δt)＝＋Δt.当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于29.4m/s.9．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝\x(导学号92600535)[答案]8[解析]eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)×2]＝2eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)＝2×三、解答题10．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度.eq\x(导学号92600536)[解析]由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－Δt－Δt2,Δt)＝－1－Δt.∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－1－Δt)＝－1.∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.一、选择题1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于eq\x(导学号92600537)()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2Δt D．12[答案]C[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.2．(2023·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是eq\x(导学号92600538)()A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案]B[解析]初速度即为t＝0时的瞬时速度，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt2.当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于3，故它的初速度为3.3．(2023·浙江台州检测)若f(x)在x＝x0处存在导数，则eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)eq\x(导学号92600539)()A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h都无关[答案]B[解析]由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B.4．(2023·安徽淮北高二检测)设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝eq\x(导学号92600540)()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]∵f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx－13＋a,Δx)＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C.二、填空题5．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为\x(导学号92600541)[答案]0m/s[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，∴eq\f(ΔS,Δt)＝eq\f(－4Δt2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ΔS,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为\x(导学号92600542)[答案]eq\f(28π,3)[解析]∵Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).三、解答题7．求函数f(x)＝3x－eq\f(2,x)在x＝1处的导数.eq\x(导学号92600543)[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－eq\f(2,1＋Δx)－1＝2＋3Δx－eq\f(2,1＋Δx)＝3Δx＋eq\f(2Δx,1＋Δx)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx＋\f(2Δx,1＋Δx),Δx)＝3＋eq\f(2,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3＋eq\f(2,1＋Δx))＝5，∴f′(1)＝5.8．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3,29＋3t－320≤t<3)).求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度.eq\x(导学号92600544)[解析](1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]时的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度