2021-2022学年辽宁省沈阳市第一四五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市第一四五中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是

A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：逐一排除即可2..已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为(

)(A)直角三角形

(B)等边三角形

(C)钝角三角形

(D)等腰直角三角形参考答案：B略3.下面为函数的递增区间的是A. B. C. D.参考答案：C，当时，由得，即，所以选C.4.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象变换．【分析】由函数f（x）=loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=ax+b的图象即可．【解答】解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D5.设满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：C.试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.7.如果一个数含有正偶数个数字8，则称它为“优选”数（如12883，787480889），否则称它为“非优选”数（如2348756，958288等），则四位数中所有“优选”数的个数为（

）

A．459

B．460

C．486

D．487参考答案：B8.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0参考答案：A9.函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线与函数的图像交于B、C两点，则

(

)

A．

B．

C．4D．8参考答案：D10.已知函数的定义域为R，x∈[0，1]时，，对任意的x都有成立，则函数均零点的个数为

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设复数，其中i为虚数单位，则＝

．参考答案：5∵，∴．12.设为任意实数，不等式组表示区域，若指数函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是________参考答案：略13.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为

▲

.参考答案：14.已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，则|﹣2|=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据（+）⊥得出（+）?=0，求出?的值，再计算从而求出|﹣2|．【解答】解：向量，中，||=2，||=1，且（+）⊥，∴（+）?=+?=0，∴?=﹣=﹣4，∴=﹣4?+4=4﹣4×（﹣4）+4×1=24，∴|﹣2|=2．故答案为：2．15.已知复数满足(为虚数单位),则的模为________.参考答案：16.函数的极小值为

．参考答案：－2求导，得：，得，当=1时，函数f(x)取得极小值－2。17.已知函数，若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣1，3）考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题意可知g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4在（﹣∞，1]单调递增，h（x）=x2+1在（1，+∞）单调递增且h（1）=g（1），从而可得f（x）在R上单调递增解答：解：令g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4则g‘（x）=9x2﹣18x+12＞0恒成立，即g（x）在（﹣∞，1]单调递增而h（x）=x2+1在（1，+∞）单调递增且h（1）=g（1）∴f（x）在R上单调递增∵f（2m+1）＞f（m2﹣2）∴2m+1＞m2﹣2m2﹣2m﹣3＜0∴﹣1＜m＜3故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键是根据导数知识判断函数的单调性及端点处函数值的处理三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a，b，c均为正实数．（1）若a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥；（2）求证：≥．参考答案：【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可．（2）利用分析法由≥，得到条件（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，推出结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∵2ab≤a2+b2，2bc≤c2+b2，2ac≤a2+c2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）由已知得a+b+c＞0，欲证≥，只需证≥，只需证3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，只需证2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≥0，即证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，上述不等式显然成立，故原不等式成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力．19.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(－2,0)．（1）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程．（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．参考答案：（1）（2）【分析】（1）设，，由即得动点的轨迹方程；（2）由题得直线的参数方程可设为（为参数），代入曲线的普通方程，得，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）设，，

则由，得，即

消去，得，此即为点的轨迹方程.（2）曲线的普通方程为，直线的普通方程，设为直线的倾斜角，则，，则直线的参数方程可设为（为参数），

代入曲线的普通方程，得，

由于，

故可设点对应的参数为，，则．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.（本小题满分12分）某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？参考公式：参考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；参考答案：解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1,2,…,8),则由图可知：P1=×30=,P2=×30=∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=

由题n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④组的高度h=×==

频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关………8分（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人。则X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列为：P0123XEX=0×+1×+2×+3×===(或由X服从20，5，3的超几何分布，∴EX=3×=)…12分21.（本小题满分12分）已知等差数列，为其前项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。参考答案：【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁D2D3B4（1）；（2）解析：（1）由公差（2），。【思路点拨】（1）由等差数列的性质可得公差，进而求出通项公式；（2）利用分组求和即可。22.已知函数f（x）=a+（bx﹣1）ex，（a，b∈R）（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得，求出a，b的值即可；（2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=bex+（bx﹣1）ex=（bx+b﹣1）ex，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，∴，∴，解得：；（2）当b=2时，f（x）=a+（2x﹣1）ex，（a＜1），关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）ex﹣ax＜0的整数解有且只有1个，构造函数F（x）=a+（2x﹣1）ex﹣ax，x∈R，故F′（x）=ex（2x+1）﹣a，1°x≥0时，∵ex≥1，2x+1≥1，故ex（2x+1）≥1