高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语单元测试 全国公开课

选修1-1第一章1.1.一、选择题1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是eq\x(导学号92600042)()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是eq\x(导学号92600043)()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1，或x<－1，则x2>1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1[答案]D[解析]－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，x2<1的否定为x2≥1，故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则eq\x(导学号92600044)()A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假[答案]C[解析]如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中eq\x(导学号92600045)()A．真命题个数一定是奇数B．真命题个数一定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案]B[解析]因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B．5．对于实数a、b、c，下列命题中是真命题的是eq\x(导学号92600046)()A．若a>b，则ac>bc B．若ac2>bc2，则a>bC．若a>b，则ac2>bc2 D．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)[答案]B[解析]∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b.6．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；(2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是eq\x(导学号92600047)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”).eq\x(导学号92600048)[答案]真[解析]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是\x(导学号92600049)[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.9．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是________，为________(填“真”或“假”)命题.eq\x(导学号92600050)[答案]若a≤b，则2a≤2b[解析]指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．三、解答题10．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝\x(导学号92600051)[解析](1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.一、选择题1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是eq\x(导学号92600052)()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的eq\x(导学号92600053)()A．逆否命题 B．逆命题C．否命题 D．原命题[答案]C[解析]解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．解法二：如图可知，s与t互否．3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是eq\x(导学号92600054)()A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0[答案]D[解析]命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”4．(2023·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是eq\x(导学号92600055)()A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．二、填空题5．(2023·山东枣庄高二检测)有下列三个命题：eq\x(导学号92600056)①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中所有真命题的序号为________．[答案]②[解析]命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题6．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围为\x(导学号92600057)[答案][1,2][解析]由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))，∴1≤m≤2.三、解答题7．(2023·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.eq\x(导学号92600058)[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝eq\r(2)，b＝－eq\r(2)，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝eq\r(2)，则a＋b＝2＋eq\r(2)是无理数，故逆否命题为假．8．(2023·山西太原高二检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列.eq\x(导学号92600059)(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．[解析](1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．逆否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a