高中数学人教A版第三章函数的应用 课时作业2

第三章函数的应用课时作业(二十三)方程的根与函数的零点一、选择题1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：C解析：根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B，D错误．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．2．函数y＝eq\f(4,x)－x的零点是()A．2 B．－2C．2，－2 D．(2，－2)答案：C3．已知函数f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()A．恒为负 B．等于零C．恒为正 D．不小于零答案：A解析：因为x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.4．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2，e) D．(3,4)答案：B解析：∵f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是(1,2)．5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b答案：B解析：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2.∵heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，故h(x)的零点c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a＜c＜b.6．已知x0是函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0答案：D解析：令f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx＝0，从而有lnx＝eq\f(1,x－1)，此方程的解即为函数f(x)的零点．在同一坐标系中作出函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象如图所示．由图象易知eq\f(1,x1－1)＞lnx1，从而lnx1－eq\f(1,x1－1)＜0，故lnx1＋eq\f(1,1－x1)＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0.7．若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，则实数a的取值范围是()A．[－4,0] B．(－4,0)C．[0,4] D．(0,4)答案：B解析：画出函数y＝|4x－x2|的图象，再画出函数y＝－a的图象，要使函数有4个零点，即两个函数有4个不同的交点，所以0＜－a＜4，∴－4＜a＜0.二、填空题8．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)答案：①②③9．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是________．(填序号)x－10123f(x)－g(x)－①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．答案：②10．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．答案：0解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.三、解答题11．求下列函数的零点．(1)f(x)＝－6x2＋5x＋1；(2)f(x)＝x3＋1；(3)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1).解：(1)∵f(x)＝－6x2＋5x＋1＝－(6x＋1)(x－1)，令－(6x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－eq\f(1,6)或x＝1，∴f(x)＝－6x2＋5x＋1的零点是x＝－eq\f(1,6)和x＝1.(2)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝x3＋1的零点是x＝－1.(3)∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)＝eq\f(x＋12,x－1)，令eq\f(x＋12,x－1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)的零点是x＝－1.12．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的值．解：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数只有一个零点．(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根．故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).综上所述，当a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数仅有一个零点．13．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解：解法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2≈＞0，所以由函数零点存在性定理，知f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．解法二：在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图所示．由图象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．尖子生题库14．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五个零点，求实数m的取值范围．解：(1)设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x2－mx－1.又f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋mx＋1(x>0)．又f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋mx＋1，x>0，,0，x＝0，,－x2＋mx－1，x<0.))(2)因为f(x)为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即方程f(x)＝0有五个不相等的实数解，得y＝f(x)的图象与x轴有五个不同的交点．又f(